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1、湘教版数学精品资料小专题(一)反比例函数与一次函数图象的综合题教材P21复习题T8的变式与应用教材母题:已知反比例函数y的图象与正比例函数y2x的图象交于点(2,4),求这个反比例函数的表达式,并在同一平面直角坐标系内,画出这两个函数的图象【解答】将(2,4)代入反比例函数y中,得k248,反比例函数的表达式为y.在同一平面直角坐标系中,画出两个函数的图象如下:【方法归纳】解反比例函数与一次函数的综合题,常用方法如下:(1)已知反比例函数和一次函数的图象经过某一点,求反比例函数和一次函数的表达式,解这类题的方法常从反比例函数入手,先求出反比例函数的表达式,再求出另一个交点的坐标,最后利用待定系
2、数法求一次函数的表达式;(2)求反比例函数与一次函数的交点坐标,解这类题的方法是将两个函数表达式联立得方程组,求得方程组的解即为交点坐标变式训练:1(常德中考)如图,直线AB与坐标轴分别交于A(2,0),B(0,1)两点,与反比例函数的图象在第一象限交于点C(4,n),求一次函数和反比例函数的表达式解:设一次函数的表达式为ykxb,反比例函数的表达式为y.把A(2,0),B(0,1)代入ykxb中,得解得一次函数的表达式为yx1.把C(4,n)代入yx1中,得n3.点C的坐标为(4,3)把C(4,3)代入y中,得m12.反比例函数的表达式为y.2(郴州中考)如图,一次函数y1x1的图象与反比例
3、函数y2(x0)的图象交于点M,作MNx轴,N为垂足,且ON1.(1)在第一象限内,当x取何值时,y1y2?(根据图象直接写出结果)(2)求反比例函数的表达式解:(1)当x1时,y1y2.(2)把x1代入y1x1中,得y2.M点的坐标为(1,2)把M(1,2)代入y2中,得k2.反比例函数的表达式为y2.3如图,反比例函数y的图象与直线yx2交于点A,且A点纵坐标为1.(1)求反比例函数的表达式;(2)当y1时,求x的取值范围解:(1)把y1代入yx2中,得x3.点A的坐标为(3,1)把点A(3,1)代入y中 ,得k3.反比例函数的表达式为y.(2)当x0时,y0,当x0时,反比例函数y的函数
4、值y随x的增大而减小,把y1代入y中,得x3,当y1时,x的取值范围为0x3.4(襄阳中考)如图,直线yaxb与反比例函数y(x0)的图象交于A(1,4),B(4,n)两点,与x轴,y轴分别交于C,D两点(1)m4,n1若M(x1,y1),N(x2,y2)是反比例函数图象上的两点,且0x1x2,则y1y2(填“”“”或“”);(2)若线段CD上的点P到x轴,y轴的距离相等,求点P的坐标解:直线yaxb经过点A(1,4),B(4,1),解得yx5.当xy时,xx5,解得x.P(,)5(自贡中考)如图,已知A(4,n),B(2,4)是一次函数ykxb和反比例函数y的图象的两个交点(1)求一次函数和
5、反比例函数的表达式;(2)观察图象,直接写出方程kxb0的解;(3)求AOB的面积解:(1)B(2,4)在双曲线y上,m8.反比例函数的表达式为y.A(4,n)在y上,n2.A(4,2)直线ykxb经过A(4,2),B(2,4),解得一次函数的表达式为yx2.(2)x14,x22.(3)设一次函数的图象与y轴的交点为C.当x0时,y2,C(0,2)OC2.SAOBSACOSBCO24226.6(威海中考)如图,反比例函数y的图象与一次函数ykxb的图象交于A,B两点,点A的坐标为(2,6),点B的坐标为(n,1)(1)求反比例函数与一次函数的表达式;(2)点E为y轴上一个动点,若SAEB5,求点E的坐标解:(1)把点A(2,6)代入y,得m12.则反比例函数的表达式为y.把点B(n,1)代入y,得n12.则点B的坐标为(12,1)由直线ykxb过点A(2,6),B(12,1),得解得则一次函数的表达式为yx7.(2)设直线AB与y轴的交点为P,点E的坐标为(0,t),连接AE,BE,则点P的坐标为(0,7)PE|t7|.SAEBSBEPSAEP5,|t7|(122)5.|t7|1.解得t16,t28.点E的坐标为(0,6)或(0,8)