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1、第5课时直线与椭圆的位置关系姓名1 直线与椭圆的位置关系，常用研究方法是将曲线方程与直线方程联立，由所得方程组的解的个数来决定，一般地，消元后所得一元二次方程的判别式记为,0时，有两个公共点，=o时,有一个公共点，b0)的离心率为3，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6+4J-,(I)求椭圆M的方程；(H)设直线I与椭圆M交于A,B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点。，求厶ABC面积的最大值.(III)思考：若直线I与椭圆交于不同的两点A、B,以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C,此时直线恒过定点？22例3.在椭圆24弋上恒有两点关于直线y=4x+m对称，求m的取值范围.22思考：
2、在椭圆Xy1上恒有两点关于直线y=kx+1对称，求k的取值范围431判断直线与圆锥曲线的位置关系时，注意数形结合；用判别式的方法时，若所得方程二次项的系数有参数，则需考虑二次项系数为零的情况.2.涉及中点弦的问题有两种常用方法：一是设而不求”的方法，利用端点在曲线上，坐标满足方程,作差构造出中点坐标和斜率的关系，它能简化计算；二是利用韦达定理及中点坐标公式.对于存在性问题，还需用判别式进一步检验.3.对称问题，要注意两点：垂直和中点.第5课时直线与椭圆的位置关系20161201姓名1 直线与椭圆的位置关系，常用研究方法是将曲线方程与直线方程联立，由所得方程组的解的个数来决定，一般地，消元后所得
3、一元二次方程的判别式记为,0时，有两个公共点，=0时,有一个公共点，0时，没有公共点在判定此类情形时，应注意数形结合.2 .直线与椭圆的交点间的线段叫做椭圆的弦.设弦AB端点的坐标为A(X1,y”，B(x2,y2),直线AB的斜率为k，则：|ABI=或：.利用这个公式求弦长时，要注当弦过圆锥曲线的焦点时，可用焦半径进行运算.焦半径公式3 .中点弦问题：X1族2,冯+X20M(X0,y)为AB的中、,2一2设A(X1,%),B(X2,y2)是椭圆笃爲=1上不同的两点，且ab点，则圧22笃乌=1a2b22y1=1两式相减可得y1y2X1%2y1y2b12，x1x2a例1.设Fi、F2分别是椭圆二1
4、的左、右焦点.(1)若P是该椭圆上的一个动点，求PF1卩F2的最大值和最小值;(2)直线是否存在过点P(5，0)的直线I与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|?若存在，求I的方程；若不存在，请说明理由.解:(1)易知a=5,b=2,c=1,.片=(一1,0),F2(1,0)(x,y)，则PF1卩F2=(-1-x,-y)(1-x,-y)=x2y2-1x24-4x25-当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1PF2有最小值3；当x二5，即点P为椭圆长轴端点时，PF1卩F2有最大值4(2)假设存在满足条件的直线I易知点P(5,l与椭圆无交点，所在直线I斜率存在，设为k20)在椭圆的外
5、部，当直线l的斜率不存在时，直线直线I的方程为y=k(x5)由方程组54j=k(x5)=1，得(5k24)x2-50k2x125k2-20=0依题意：=20(16-80k2)0,得5D(x2,y2),CD的中点为R(x0,y0),552则x1x1x2225k25k2425k2y。=k(X0-5)=k(5k+4一5)二-20k5k24又|F2C|=|F2D|uF2R1=kkF2R20k0(2)5k+4125k25k2420k2_4-20k2一二20k2=20k24，而20k2=20k24不成立，所以不存在直线l，使得|F2C|=|F2D|,综上所述，不存在直线I，使得|F2C|=|F2D|例2.
6、已知椭圆M(ab0)的离心率为速3，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6+4,(I)求椭圆M的方程；(H)设直线l与椭圆M交于A,B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点。，求厶ABC面积的最大值.解:(I)因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为6+4J,所以2a+2c=6+4,又椭圆的离心率为2恵，所以22T所以a=3,c=2J】，所以b=1,椭圆M的方程为I(H)不妨设BC的方程y=n(x-3)(n0)，则AC的方程为尹二旳(兀_3)=r1+2=1(丄+小)工一6护疋十知21=0得乂弭(可必)因为加+1,所以_27-39同+1，同理可得|BC|=+所以69?+l,AC
7、=防12(+-)2；23旳旳二笃4仗+)+1-+2&匸二16464_8t+r+起9,设冷，则99fkAC当且仅当3时取等号，所以ABC面积的最大值为。(3) 思考：若直线I与椭圆交于不同的两点A、B,以AB为直径的圆过椭圆的右顶点恒过定点？(4) 求以A(2,1)为中点的椭圆的弦所在直线方程；22若椭圆乂丄1的弦被点(4,369变式训练2:2)平分，则此弦所在直线的斜率为C.例3.在椭圆2=1上恒有两点关于直线43y=4x+m对称，求m的取值范围.C,此时直线设椭圆上两点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于直线y=4x+m对称,AB中点为M(xO,yO)。贝U3x1A2+4y1A2=123x
8、2A2+4y2A2=12相减得到：3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0由于M是AB的中点，所以x1+x2=2x0,y1+y2=2y0既6x0(x1-x2)+8y0(y1-y2)=0则k=y1-y2/x1-x2=-3x0/4y0=-1/4.y0=3x0.代入直线方程y=4x+m得x0=-m,y0=-3m因为(x0,y0)在椭圆内部。贝U3mA2+4(-3m)A212解得-2V13/13mb0)的左准线x=abx2上，过点CP且方向为a=(2,5)的光线，经直线y=2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为.33(A)228.若椭圆axy=1的离心率为33，则其长
9、轴长等2中心在原点，过焦点的最短弦长为3，离心率为1的椭圆标准方程是229已知圆A:(x-3)y=100,2Z丄2510.设F2为椭圆的两个焦点，以迹方程为动圆M经过点B(-3,0)且与圆A相切，则动圆圆心M的轨2=116F2为圆心作圆F2，已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M点，若直线MF1恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率e为.2211.点P是椭圆=1上一点，F1,F2是椭圆的两个焦点，若厶PF1F2为直角三角形，则厶PF1F2259的面积是9或522xy12.已知椭圆牙=1（ab0）的两个焦点为Fi、F2，点P在椭圆G上，且PR_FH,abIi243io43且PFi|=,PF2=，斜
10、率为1的直线I与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作33等腰三角形，顶点为Pi（-3,2）.（1）求椭圆G的方程；（2）求ARAB的面积.分析：1)由椭圆G：2叫TSAirXO的两个焦点为Fl.F2.点P在橢IUG上,且PF1F1aiF20F尸半，|吓二畔-te|HF2=4j2f即心2匹，為护叫+|卩罔詔返，由此能求出椭圜G的方程_fyx+m(2)设直线I的方程为y=X+m*由k2v2_1得4x6wjc+3w2-12=0*设九B&3坐标分羽T别为(xlryl)*(fy2)(xli0)的两个焦点为F1、F2.点P在椭那上a犷且PF1丄F1F2目円丫二芈，I円划二畔,诽1R匕罟峙=诽返,2aPFl|+|P
