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1、1. 算符、矩阵表示以及密度矩阵在量子力学中，算符代表对波函数的一种运算，当我们用一组正交完备的基矢（）将波函数进行展开时，算符对应的矩阵表示为：对于密度算符，定义为：选取具体基矢后，其矩阵表示：可以看出密度矩阵对角元上的值，正好对应系统出于该基矢对应态的概率。由归一化条件：算符的平均值可以写为：纯态与混态：纯态指的是体系处于一个确定的波函数所描述的态，比如：其中满足概率幅归一化条件。混态指的是有很多个粒子，我们不确定每个粒子所处的状态，但统计表明处于某个态的比例我们知道，比如：可以写成，但这并不是一个波函数，只是表明处于各个状态的概率而已。（这里满足概率归一化条件。）混态密度矩阵定义为：吉布
2、斯熵：直积态：两个纯态作直积得到的态，例如：波函数满足归一化条件，直积态就是仍然是一个纯态。两个体系A和B构成的复合态，若不是直积态，则被称为纠缠态，例如：不能写成两个纯态的直积，是一个纠缠态（态的粒子自旋只能朝上，态的粒子自旋只能朝下）。复合态的密度矩阵定义为：约化密度矩阵：，这里表示将处于B本征态的密度矩阵元拿出来求和。作业题：a. 已知，求证：证：不显含时间，因此第二项为零，第一项和第三项可以根据薛定谔方程来化简，即：， 则另外：代入得：证毕。b. 求证：证：定义函数，在处进行泰勒展开：令即得证。c. 已知：，求证：证：（这是一个直积态，写着玩的），另外：可以证明，函数在条件的条件极值点
3、为，证明如下：引入拉格朗日乘子对各个参数求偏导求零点得：代入：于是有：即极值点为：，注意到这个极值点在确定的1,2态下，唯一确定（就是直积态），而且并不含参数的交叉项，因此二阶交叉偏导均为零，二阶纯偏导均为负，因此这个极值点是最大值点，题设条件要求不是直积态，则。d. 如果，且，求证：证明：容易证明是一个上凸函数（）则有证毕。2. 路径积分理论与AB效应 传播子：用来描述不同时刻不同状态之间的概率联系，例如，在坐标本征态下表示粒子若在t时刻处于r，则在之后的t时刻处于r的概率波幅。考虑到t时刻粒子不一定百分百在r，它有一个概率分布，概率波幅用波函数描述，对全空间做积分可以得到：从定态薛定谔方程
4、的解，可以得到坐标表象下的传播子表达式为：传播子的性质：传播子的组合规则和传播子所满足的方程组合规则：可以考虑在t与t中加入一个时间节点t1，概率波幅分布，则对比，可以得到：也可以进一步推广到n个节点上去。所满足的方程：tt时，传播子的物理含义表明，它是一种特殊的波函数，所以应满足薛定谔方程，即：tt时的传播子从因果律考虑，它应该没有意义，我们将它定义为，也满足薛定谔方程。在t=t时，我们知道，与其它时间段的值放在一起，并不满足薛定谔方程，不过可以总结为：因此传播子是薛定谔方程的一类格林函数。 路径积分路径积分说的是，粒子从一个点A出发，到达另一个点B的概率波幅（传播子），实际上是粒子通过所有
5、路径到达B点的概率波幅的叠加，由于路径是连续的，求和变为积分，也就是说：传播子等于所有道路的路径积分！费曼的路径积分理论基本假定是如下构造传播子：其中C为适当的归一化系数。所谓的相空间和位形空间中的路径积分，实际上就是分别在相空间和位形空间中计算传播子，太麻烦了我觉得不会考，就不写上去了，有兴趣的自己看书吧。 A-B效应磁的A-B效应说的是，粒子经典干涉路径不通过磁场区域，但磁场的有无仍然可以影响干涉的相位，这在路径积分理论中可以有很好的说明：路径积分理论传播子中出现拉格朗日量L，在磁场下L中将出现矢势A，由于A不为0（哪怕该路径上的磁场为0），会对路径积分产生相位的影响。3. 散射理论 微分
6、散射截面用来描述散射粒子沿各个角度的分布。对于经典情况只与角有关，可以证明；对于量子情况，入射波用描述。经过散射后，在无穷远处波函数变为：，散射截面变为 分波法中心势场散射过程中，能量和角动量守恒，所以可以将入射波用共同的本征态(球谐函数)进行展开分类, 代入薛定谔方程可以得到：其中为径向函数趋于无穷的额外相位：作业题：具体方法就是对比有无中心势时的径向方程的形式，对比解趋于无穷时的相位。径向方程：写成没有外加势场的形式：其中对比的行为：则下略 Born近似 Born近似将外势场的散射看作是微扰，散射波一级近似为：时，对比可以得到：4. 相位与含时哈密顿量 量子绝热定理及成立条件量子绝热定理是
7、说，如果体系的哈密顿量随时间变化的总够缓慢，初态为，则体系将会保持在相应的瞬时本征态上。成立条件为：对所有的均成立 Berry相位其中，R为含时参数，为瞬时本征态，如果绝热条件成立，则该相位不依赖于C的路径。 相互作用图象对于力学量平均值或者说概率分布随时间的演化，有三种等价的描述图像，第一种认为体系态矢（基矢波函数）在演化，而算符没有变化，体系态矢演化遵循薛定谔方程，这被称为薛定谔图像；第二种，认为态矢没有变化，而力学量算符在随时间演化，演化方程遵循，被称为海森堡图像；第三种叫相互作用图像，介于前两者之间，这个图像下态矢和算符都在演化，不过可以分别对二者的演化进行控制，具体如下：设,定义算符
8、：定义态矢：态矢演化方程可以由薛定谔方程推出来：，其中算符随时间的演化：在相互作用图像中，算符仅仅随H0演化，即只与不含时部分哈密顿量（一般为初态哈密顿量）有关，而态矢只随演化。这样对于微扰（H）情况，计算将会简化很多。5. 二次量子化对于大量全同粒子构成的体系，任何两个粒子的交换并不产生新的量子态，这要求体系波函数具有相应的对称性，而简单的单粒子本征态（只于某个粒子有关的态）不具备这种对称性，因此如果用这样的单粒子态基函数来描述整个体系的波函数，就会使得波函数非常复杂！为了避免这种复杂性，我们采取另外一种表象粒子数表象，在这个表象下，我们标出所有粒子存在的态以及态上的粒子数，即，其中表示处于
9、态的粒子的个数。对应于这种表示的满足交换对称性的归一化波函数为：其中P为某个置换操作，在这里对所有置换求和之后，玻色子波函数自然满足玻色子交换对称性，而slate行列式自动满足费米子交换反对称性和泡利不相容原理。产生湮灭算符有好几种引入方式，结论是：A这个对于玻色子和费米子都是成立的，只是对于费米子要考虑中泡利不相容原理导致的只能取0和1，其它值会导致整个波函数为0。B 对于玻色子，对易关系为：，对于费米子，对易关系为：，C粒子数算符，且许老师讲的时候，给定B和C条件，可以推出A，其实也可以通过A和对称波函数推出B和C。下面是部分作业题（），附在这里：. 证明对于玻色子：，证：由对易关系：将粒
10、子数算符作用到这个态上：对比粒子数算符的含义，知道这个态的粒子数应该是（n-1）,不妨设：又： 即：同理可证：（自己练习吧o()o，打的好累。）. 证明对于费米子：，证：由反对易关系：则态的粒子数为1，不妨设：又即同理：，. 写出一维线性谐振子哈密顿量的产生湮灭算符形式。将其它算符化为粒子数表象下的产生湮灭算符的形式：单体算符（算符只与一个粒子相关）：可以证明： 其中二体算符（算符与两个个粒子相关）： 可以证明： 其中6. 角动量理论 无穷小转动算符：角动量算符的对易关系：， （）对易关系对角动量的本征值有很严格的限制，具体说来：由于与对易，因此可以定义它们的共同本征态，满足：定义算符：， 利
11、用对易关系可以证明：， 即是一个本征值为，本征值为，可以设为，是适当的归一化系数。即可以看作的升降算符（总角动量不变）。另外，由于是正定的，本征值非负，即。这说明存在使得；使得根据联立可得：这意味着b只能取的整数倍或者半整数倍,不妨设为，同样可以设，这样就可以用来标记本征态。在这个标记下容易验证：，角动量的耦合。我选择死亡！ 矢量算符与张量算符矢量算符满足：其中是转动算符，为转动的矩阵表示元素。考虑无穷小转动：，代入得：选择转轴z,即，则，代入并使得：同理可选择x轴和y轴，分别得到对易关系，综合起来为：可以由此验证坐标算符和动量算符都是矢量算符。张量算符满足: （q取值-k到k）同样考虑无穷小
12、转动：，可以将化为：经过选择转轴之后可以得到对易关系：（例如对于z轴，则和进行组合之后可以得到另外一个对易式）可以证明矢量算符V的线性组合：满足的张量算符对易形式。7. 量子体系的对称性Noether定理：连续的对称性变换必定对应某个守恒量或者运动常数。时间平移不变对应能量守恒；空间平移不变对应动量守恒；空间转动不变对应角动量守恒。证明过程，我也选择死亡！ 时间反演算符：对于时间反演不变的系统，满足系统先演化（t）再反演等于先反演再演化（-t）,即：展开取一阶（时间无穷短），化简：如果T是幺正算符，则，进一步由于系统的态的能量是没有上届的，则可以得出其反演态的能量无下界，这与时间反演不变相矛盾（实际系统态能量有下界基态）。因此T不是幺正算符，对于反幺正算符，作用在一个数上，要取复共轭，因此变为：可以证明反幺正算符（）可以写成一个幺正算符（）与取复共轭算符（）的积：
