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1、第三章导数及其应用解析：f(x)xlnx，f(x)lnxxlnx1，x2(时间：120分钟；满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)1如果质点按规律s(t)t2t(距离单位：m，时间单位：s)运动，则质点在3s时的瞬时速度为_解析：质点在3s时的瞬时速度即s(3)5m/s.答案：5m/s2设f(x)xlnx，若f(x0)2，则x0_.1x由f(x0)2得lnx012，x0e.答案：e3若函数f(x)2x2lnx在其定义域内的一个子区间(k1，k1)内不单调，则实数k的取值范围是_解析：f(x)2x2lnx的定义域为(0，)，11f(x)4x，
2、由f(x)0得x.k1k1由题意知，解得1k.12k1032答案：1k32,4.函数f(x)(x1)2(x2)2的极大值是_解析：f(x)(x1)2(x2)2，3f(x)2(x1)(2x3)(x2)；,令f(x)0，得可能的极值点x11，x22，x32.列表如下：331，2x(，1)12222(2，)31f是函数的极大值f(x)000f(x)极小值极大值极小值216答案：1165.若直线ykx3与曲线y2lnx相切，则实数k_.,解析：依题意，设切k2点为(x0，y0)，则有,x0kx32lnx001，由此得232lnx0，x0e2.1x0e22k12e.7已知函数f(x)在1，)上为减函数，
3、则实数a的取值范围是2答案：2e6已知xR，奇函数f(x)x3ax2bxc在1，)上单调递增，则a，b，c应满足的条件是_解析：由f(x)是奇函数，得ac0.f(x)3x2b，又f(x)在1，)上单调递增，故b3x2，在1，)上恒成立，即b3.答案：ac0，b3lnalnxx_x1x解析：f(x)x2alnx1alnxx2，11设f(x)x3x22x5，当x2,2时，f(x)m0得3x2x20，即x1；由f(x)0得3x2x20，即x2，则f(x)2x4的解集为_解析：设h(x)f(x)(2x4)，则h(x)f(x)20，故h(x)在R上为增函数，又h(1)f(1)20，当x1时，h(x)0，
4、即f(x)2x4.答案：(1，)9已知f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围是_解析：f(x)3x22axa6，由已知，f(x)0应该有两个不等的实数根，4a212(a6)0，解得a6或a6或a310函数yx33axa在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为_解析：y3x23a，令y0，可得：ax2.又x(0,1)，0a1.答案：0a，f(x)在x2,2上的最大值为7；200200x200x100xf(x)7.答案：m712方程x36x29x100的实根个数是_解析：设f(x)x36x29x10，则f(x)3x212x93(x1)(x3)，故函数f(x)在(，1)上为增
5、函数，在(1,3)上为减函数，在(3，)上为增函数；而f(1)6，f(3)10；故函数f(x)的图象与x轴有且只有1个交点，即方程x36x29x100的实根个数是1个答案：113一火车锅炉每小时消耗煤的费用与火车行驶的速度的立方成正比，已知当速度为每小时20千米时，每小时消耗的煤的费用为40元；火车行驶的其它费用为每小时200元，则火车行驶的速度为_(千米/小时)时，火车从甲城开往乙城的总费用最省(已知甲、乙两城距离为a千米，且火车最高速度为每小时100千米)p解析：设火车速度为x千米/小时，每小时消耗的煤的费用为p元，依题意有pkx3(k为比例系数)，由x20时，40，解得k，故总费用y20
6、0a(0x100)，由于ya3又当0x1020时，y0；3当10200，33当x1020时，y取最小值，即要使费用最省，火车速度应为1020千米/小时3答案：102014设a0，b0，e是自然对数的底数则下列结论正确的是_若ea2aeb3b，则ab；若ea2aeb3b，则ab；若ea2aeb3b，则a0，b0，ea2aeb3beb2bbeb2b.对于函数yex2x(x0)，yex20，yex2x在(0，)上单调递增，因而ab成立答案：二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分14分)设函数f(x)x3ax2bxc的图象如图所示，且与y0在3
7、原点相切，若函数的极小值为4，(1)求a，b，c的值；(2)求函数的递减区间令y0得：x0或xa，结合f(x)图象知：a0，当0xa时，ya时，y0；当xa时，函数有极小值4；22aa3a24，得a3.解：(1)函数的图象经过(0,0)点，c0，又图象与x轴相切于(0,0)点，y3x22axb，03022a0b，得b0，yx3ax2，y3x22ax；232322332333a3，b0，c0.(2)由(1)可得f(x)x33x2，f(x)3x26x0，解得0x0)，g(x)x3bx.(1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a3，b9时，若
8、函数f(x)g(x)在区间k,2上的最大值为28，求k的取值范围解：(1)f(x)2ax，g(x)3x2b.因为曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)g(1)，且f(1)g(1)，即a11b，且2a3b，解得a3，b3.(2)记h(x)f(x)g(x)，当a3，b9时，h(x)x33x29x1，h(x)3x26x9.令h(x)0，得x13，x21.h(x)与h(x)在(，2上的变化情况如下：x(，3)3(3,1)1(1,2)2h(x)00h(x)2843由此可知：当k3时，函数h(x)在区间k,2上的最大值为h(3)28；当3k2时，函数h(x)在区间k,2上的最大值小于28.因此，k的取值范围是(，317(本小题满分14分)已知函数f(x)ax3bx24x的极小值为8，其导函数yf(x)的图象经过点(2,0)，如图所示4f(x
