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1、第四讲：常微分方程(一)一阶微分方程1 .知识范围(1)微分方程的概念：微分方程的定义阶解通解初始条件特解(2)可分离变量的方程(3) 一阶线性方程2 .要求(1)理解微分方程的定义，理解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解。(2)掌握可分离变量方程的解法。(3)掌握一阶线性方程的解法。(二)可降价方程1 .知识范围(1) y(n)=?(x)型方程(2)y=？(x,y)型方程2 .要求(1)会用降价法解(1)y(n)=?(x)型方程(2)会用降价法解y=?(x,y)型方程(三)二阶线性微分方程1 .知识范围(1)二阶线性微分方程解的结构(2)二阶常系数齐次线性微分方程(3)二阶常系数非齐次线
2、性微分方程2 .要求(1)了解二阶线性微分方程解的结构。(2)掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。(3)掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解法(自由项限定为？(x)=Pn(x)eax,其中Pn(x)为x的n次多项式。a为实常数；？(x)eax(AcosBx+BsinBx),其中a、B、A、B为实常数)。1知识点讲授一、一阶微分方程(一)介绍有关概念：(1)凡含有未知函数的导数(或微分)的方程，称为微分方程.若未知函数只含有一个自变量，这样的微分方程称为常微分方程；(2)微分方程的阶：微分方程中所含未知函数导数的最高阶数，称为微分方程的阶.(3)微分方程的解：在研究实际问题时，首先建立微分方程
3、，然后设法找出满足微分方程的函数，也就是说，要找到这样的函数，将其代入微分方程后，能使该方程成为恒等式，这个函数叫做微分方程的解.求微分方程解的过程，叫做解微分方程.(4)微分方程的通解：如果微分方程的解中包含有任意常数，并且独立的(即不可合并而使个数减少)任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解.(5)微分方程的特解：通解中任意常数取某一特定值时，所得到的解称为微分方程的特解.确定通解中任意常数的附加条件叫微分方程的初值条件.该特解又叫满足初值条件的特解.(6)形如dy+P(x)y=Q(x)(1)的微分方程称为一阶线性微分方程，dx其中P(x),Q(x)都是自变量x的已
4、知函数，Q(x)称为自由项.所谓“线性”指的是，方程中关于未知函数y及其导数y都是一次式.当Q(x)#0时，称方程(1)称为一阶线性非齐次微分方程；当Q(x)三0时，方程(1)变为止+P(x)y=0.(2)dx称方程(2)为方程(1)所对应的一阶线性齐次微分方程.(二)一阶微分方程类型与解法方程类型方程解法可分离变量的微分方程*f(x)g(x)分离变重，两边积分y-f(x)dxg(y)齐次微分方程吆=中/dx(x)将原方程化为方程也的形式；dx(x)令U=y,贝Jy=ux,得至lj电=u+x-du,xdxdx代入方程包=中ylj,分离变量，两边积dxx!分；求出积分后再以u=回代。x一阶线性微
5、分方程齐次方程dyJ+P(x)y=0dx分离艾量，两边积分或用公式y=Ce4P(x)dx非齐次方程dy+P(x)y=Q(x)dx(1)求出对应的线性齐次微分方程的通解；(2)常数变易法或公式法_P(x)dxP(x)dxy=e.|jQ(x)edx+C例1求微分方程dy=2x3y的通解.dx解将所给方程分离变量，得dy22x3dx,y两端积分，有|曳=2x3dx,y积分后，得lny=-x4+C1,21x4+11x4C1x4从而有y|=e2=e1e2即y=e1e2,x4由于土eC1仍是任意常数，把它记作C.于是所给方程的通解为y=Ce2例2求微分方程xy-y1n：=0的通解.1y2解将所给方程分离变
6、量，得,dy=gdx,yx两端积分，有S-dy=19Hdx,yx积分后，得lny+1y2=1(lnx)2+C1,22即有y2+2lny(lnx)2=C(C=2C1).例3求微分方程2xsinydx+(x2+3)cosydy=0满足初值条件y=的特解.x-6解先求方程的通解.将所给方程分离变量，得cosy2xdy=dx.sinyx3等式两端分别积分，有fcosady=-j/Yx,sinyx3积分后，得Insiny=-ln(x2+3)+InC.从而有(x2+3)siny=C.下面再来求满足所给初值条件的特解，把初值条件%=2代入上面的通解中,得(12+3)sin=C,即C=2.于是，所求特解为(x
7、2+3)siny=2.例4求微分方程x2dy=xydy-y2的通解.dxdx22将原方程化为,2Ndy_yI2/dxxy_x_yix令u=y，则y=ux,dy=u+xdu,将它们代入上面的方程，原方程化为xdxdxduu2u+x=,dxu-1duu即x=.dxu-1分离变量，得1du=dx,ux两端积分，得jG-du=fdx,ux解得ulnu=lnx+lnC,即Cux=eu.y将u=代入上式，得所给方程通解为Cy.eVx求微分方程xdy=12xtan+ydx满足初值条件yxqx-解先求所给方程的通解.将原方程改写为=2tan- 2dxdydu二u xdxdx.将它们代入上面的方程，原方程可化为
8、duu+x=2tanu+u,dx即xdu=2tanu,dx八一2分离变革后得cotudu=dx.x2两环积分，得cotudu=f-dx,得Insinu=2lnx+lnC,x即sinu=Cx2.用u=上代入上式，使得所给方程的通解为sin?=Cx2.xx为了求出满足所给初值条件的特解，再把初值条件yx代入通解中，得x=2sin=4C,C=故得所求的特解为sin+22或 y =xarcsinZ28求线性非齐次微分方程的通解？【|常数变易法】.方法一【常数变易法】.(1)求出对应的线性齐次微分方程(2)的通解；(2)用常数变易法或用公式求方程(1)的通解.先求线性非齐次微分方程(1)所对应的线性齐次
9、微分方程(2)的通解.分离变量，得=-P(x)dx,y两端积分，并把任意常数写成lnC的形式，得lny=-P(x)dx+lnC,化简后即得线性齐次微分方程的通解为y=CeTP(xdx其中C是任意常数.再设y=C(x)ed(X)dX是方程(1)的解：.P(x)dx_P(x)dx_P(x)dx将y=C(x)e及y，=C(x)e+C(x)e)一p(x)代入方程(i),Cxe一俨Cx取。px-(epxcx()=整理，得C(x)=Q(x)e(x,dx,两边积分，得C(x)=Q(x)e(x)dxdx+C.则y=e-产”Q(x)e,P(x)dxdx+C是方程的通解.方法二【公式法】.y=eTP(x)dxjQ
10、(x)eF(x)dxdx+c例6求微分方程xdy+(y-xex)dx=0的通解.解法1当x#0时，将所给方程化为曳+1y=edxx其对应的线性齐次微分方程为dy+1y=0,dxx分离变量，得=-,两端积分，得lny=-lnx+lnC,yx化简后，即得对应齐次方程的通解为y=C.x设方程的解为y=C,其中C(x)为待定函数.对x求导，得x曳=CJx)一”.代入方程，化简后得C(x)=xe-,dxxx积分，得C(x)=Jxedx=-xee，+C=-(x+1)e，+C,即得所给微分方程的通解为y=-(x+1)e-+C(x0).x-1.解法2直接利用公式.由方程可知，P(x)=,Q(x)=eox注意使
11、用一阶线性非齐次微分方程的通解公式时，必须首先把方程化为形如(1)式的标准形式，再找出未知函数y的系数P(x)及自由项Q(x)例7求微分方程dy-2y=(x+1)3满足初值条件y毋=1的特解.dxx1x=0解：先求对应的线性齐次微分方程dy-2y=0的通解.dxx1分离变量，得曳=2dx,两端积分，得lny=2ln(x+1)+lnC,yx1化简后，得y=C(x+1)2.设原线性非齐次微分方程的解为y=C(x)(x+1)2,则y=C(x)(x+1)2+2C(x)(x+1).把它们代入方程得C(x)=x+1,两端积分，得C(x)=x2+x+C.2即得所求方程的通解为y=(1x2+x+C)(x+1)
12、2.2下面求满足所给初值条件的特解，将所给初值条件y2=1代入上面的通解中，得/12)2C=1.故得所求特解为y=|x+x+1(x+1).二、可降阶方程1、y=f(x,y)的微分方程的右端不含未知函数y。设y，=p,y”=dp代入方程y“=f(x,y)中得dp=f(x,p)就转化成为x,p一阶微分dxdx方程.然后再运用一阶微分方程的通解公式解出p=中仪,&)再对它进行积分就能得到原方程的通解.y=:(x,Ci)dxC22、y“=f(y,y)的微分方程的右端不含自变量x。设y1=p,y“=dp=dpdy=pdp此时设代入方程y=f(x,y)中得pdp=f(y,p)就dxdydxdydy转化成为y,p一阶微分方程.然后再运用一阶微分方程的通解公式解出p=tP(y,Ci)即dy=4y,Ci)再对它进行分离变量后再进行积分就能得到原方程的通解.dx例1求方程y“-Y=xex的通解.x解：设y=p,y=p代入方程y-y=xexdxx(1)齐次微分方程曲=上，分离变量两边积分，通解：p=Cxdxx(2)令p=C(x)x,则dp=C0)y=fx(C1cosPx+C2sinPx)例1求微分方程y-3y-4y=0的通解.解所给微分方程白特征方程为r2-3r-4=0,特征根为r1=4,r2=T,故得所给方程的通解为y=Ge4x-C2ee.例2求微分方程y-4y+4y=
