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1、极坐标与参数方程15道典型题在直角坐标系xOy中,以O为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系圆,直线的极坐标方程分别为,.(1)求与的直角坐标方程,并求出与的交点坐标;（2）设为的圆心,为与交点连线的中点.已知直线的参数方程为(为参数,），求的值(1)由极直互化公式得： 4分联立方程解得交点坐标为 分（2)由(1)知:, 因此直线:, 化参数方程为一般方程:,对比系数得： ，1分2.极坐标系与直角坐标系有相似的长度单位,以原点为极点,以轴正半轴为极轴,曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为，（是参数,是常数)（1）求的直角坐标方程和的一般方程；(2)若与有两个不同的公共点,求的取值范畴.解：(1)由
2、极直互化公式得，因此;-分消去参数得的方程: -4分(2）由（1)知是双曲线,是直线,把直线方程代入双曲线方程消去得：,-7分若直线和双曲线有两个不同的公共点，则，解得:-10分.已知椭圆，直线（为参数）.(I）写出椭圆的参数方程及直线的一般方程；（II）设，若椭圆上的点满足到点的距离与其到直线的距离相等,求点的坐标.解：（）C：(为为参数)，l:xy+0.4分（)设P(2cs，sn),则|A|cos,P到直线的距离=.由|AP=d得3incos5，又in2cs2=1，得in，cos-故P(-，)10分4.在极坐标系x中，直线C1的极坐标方程为sn2,M是C1上任意一点，点P在射线O上,且满足
3、|O|OM|4，记点P的轨迹为2(）求曲线C2的极坐标方程;(）求曲线上的点到直线cs(+)的距离的最大值解:（）设（,),(1,),依题意有1n=2，1.消去1,得曲线的极坐标方程为2s.分（）将C2,C的极坐标方程化为直角坐标方程,得C：x2+(y-)21,C3：y=22是以点（0,)为圆心,以1为半径的圆,圆心到直线C3的距离,故曲线C2上的点到直线C距离的最大值为105在极坐标系中,曲线的极坐标方程为。现以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系,直线的参数方程为（为参数)。（1） 写出直线的一般方程和曲线的直角坐标方程;（2） 设直线和曲线交于两点,定点,求的值。【解】（1）
4、,因此。 因此，即。 直线的一般方程为。（2） 把的参数方程代入得：。 设相应参数分别为，则，点显然在上， 由直线参数的几何意义知。6在直角坐标系xy中，直线l的参数方程为(为参数)，以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为=2sin.(）写出C的直角坐标方程；()P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标.解:（）由C的极坐标方程为=sin22,化为2+y2=，配方为=3 5分(I）设P，又C.|P|=2,因此当t=0时,|PC|获得最小值2此时P（3,0). 1分7.在直角坐标系Oy中,以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为c()
5、1，M、N分别为C与x轴、y轴的交点()写出C的直角坐标方程，并求出M、N的极坐标;（)设MN的中点为,求直线OP的极坐标方程解:(1)将极坐标方程o1化为：cs+sn则其直角坐标方程为:xy1,M(,0),N(0,）,其极坐标为M(,0），N.（2)由（1)知MN的中点P.直线的直角坐标方程为y=,化为极方程为：sn=co化简得tn,即极坐标方程为=.8.在直角坐标系y中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C1的极坐标方程为，直线l的极坐标方程为 =(）写出曲线C1与直线l的直角坐标方程；()设为曲线1上一动点,求Q点到直线距离的最小值.【解答】()以极点为原点,极轴为
6、x轴的正半轴建立平面直角坐标系,曲线C1的极坐标方程为2=，直线l的极坐标方程为=，根据2=x2y2，x=cs,yi,则C的直角坐标方程为x22y2=2，直线l的直角坐标方程为(）设,则点到直线的距离为，当且仅当，即(k)时取等号.Q点到直线l距离的最小值为.9在直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为（为参数）M是C1上的动点,点满足=2,P点的轨迹为曲线C2（）求C2的方程;（)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线=与C的异于极点的交点为A，与的异于极点的交点为B,求|AB|()根据(I)将求出曲线C1的极坐标方程，分别求出射线=与C1的交点A的极径为1，以及射线=与C的交点B的
7、极径为2，最后根据|A|21|求出所求.【解答】解：(I)设P(,）,则由条件知M（，）由于M点在C1上，因此即从而C2的参数方程为（为参数）()曲线C1的极坐标方程为4sin,曲线C的极坐标方程为sin.射线=与的交点A的极径为14sin,射线=与C2的交点B的极径为2=sn.因此|AB|=|21|10.设圆的极坐标方程为=2，以极点为直角坐标系的原点,极轴为x轴正半轴，两坐标系长度单位一致,建立平面直角坐标系过圆C上的一点M（m,s）作垂直于x轴的直线：x=m，设与x轴交于点N，向量（)求动点Q的轨迹方程;（）设点（1，0）,求的最小值.【解答】解：()由已知得是坐标(m，0），设Q(x,
8、y）,由，得,则，点M在圆=2上,即在m2+s=4上,Q是轨迹方程为 ;()Q点的参数方程为,则的最小值为1.已知在平面直角坐标系xy中,直线l的参数方程是(是参数)，以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标,曲线C的极坐标方程（)判断直线与曲线C的位置关系;()设为曲线C上任意一点,求+y的取值范畴【解答】解:（）由，消去得：yx.由，得，即,即.化为原则方程得：圆心坐标为,半径为1，圆心到直线xy+=0的距离d1.直线与曲线C相离；()由M为曲线C上任意一点，可设，则xysin+os，x+y的取值范畴是2已知曲线的参数方程为 (为参数),以直角坐标系原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系
9、()求曲线的极坐标方程;（）若直线的极坐标方程为(sn+cs)=，求直线被曲线截得的弦长.3.(1)曲线的参数方程为 （为参数)曲线的一般方程为将 代入并化简得： 即曲线的极坐标方程为.分（2)的直角坐标方程为圆心到直线的距离为d=弦长为2= .10分13.（福建理科）在平面直角坐标系中，圆的参数方程为.在极坐标系（与平面直角坐标系取相似的长度单位,且以原点为极点,以轴非负半轴为极轴）中,直线l的方程为（）求圆C的一般方程及直线l的直角坐标方程;（)设圆心C到直线的距离等于，求m的值.试题分析：()将圆的参数方程通过移项平方消去参数得 ，运用，将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；()运用点到直
10、线距离公式求解试题解析：()消去参数t,得到圆的一般方程为,由,得,因此直线l的直角坐标方程为.()依题意，圆心到直线l的距离等于2,即解得14.(新课标2理科)在直角坐标系xO中,曲线C：（t为参数,t 0),其中0 ，在以为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:，C3:。（1）求C2与C3交点的直角坐标;(2)若与2相交于点A，C1与3相交于点B，求的最大值。1（陕西理科)在直角坐标系中,直线的参数方程为（为参数）以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为（I）写出的直角坐标方程;(I)为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标【答案】(I）；（II）【解析】试题分析:（)先将两边同乘以可得,再运用，可得的直角坐标方程；（I）先设的坐标，则，再运用二次函数的性质可得的最小值,进而可得的直角坐标试题解析:（)由,从而有(I）设,则，故当t=0时,|P|取最小值,此时P点的直角坐标为（3,0)
