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1、志远教育 八年级数学因式分解辅导教案因式分解的常用方法第一部分:方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍一、提公因式法.:ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使
2、用,即为因式分解中常用的公式,例如: (1 ) (a+b)(a-b) = a2-b2 -a2-b2=(a+b)(a-b);(2 ) (ab)2 = a22ab+b2 a22ab+b2=(ab)2;(3 ) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3- a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);(4 ) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 -a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)下面再补充两个常用的公式:(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca);例.已知是的三边,且
3、,则的形状是( )A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形解: 三、分组分解法.(一)分组后能直接提公因式例1、分解因式:分析:从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但从“局部”看,这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间的联系。解:原式= = 每组之间还有公因式! = 例2、分解因式:解法一:第一、二项为一组; 解法二:第一、四项为一组;第三、四项为一组。 第二、三项为一组。解:原式= 原式= = = = =练习:分解因式1、 2、(二)分组后能直接运用公式例3、分解因
4、式:分析:若将第一、三项分为一组,第二、四项分为一组,虽然可以提公因式,但提完后就能继续分解,所以只能另外分组。 解:原式= = =例4、分解因式: 解:原式= = =练习:分解因式3、 4、综合练习:(1) (2) (3) (4) (5) (6)(11)(12)四、十字相乘法.(一)二次项系数为1的二次三项式直接利用公式进行分解。特点:(1)二次项系数是1; (2)常数项是两个数的乘积;(3)一次项系数是常数项的两因数的和。思考:十字相乘有什么基本规律?例.已知05,且为整数,若能用十字相乘法分解因式,求符合条件的.解析:凡是能十字相乘的二次三项 式ax2+bx+c,都要求 0而且是一个完全
5、平方数。于是为完全平方数,例5、分解因式:分析:将6分成两个数相乘,且这两个数的和要等于5。 由于6=23=(-2)(-3)=16=(-1)(-6),从中可以发现只有23的分解适合,即2+3=5。 1 2解:= 1 3 = 12+13=5用此方法进行分解的关键:将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例6、分解因式:解:原式= 1 -1 = 1 -6 (-1)+(-6)= -7练习5、分解因式(1) (2) (3)练习6、分解因式(1) (2) (3)(二)二次项系数不为1的二次三项式条件:(1) (2) (3) 分解结果:=例7、分解因式:分析: 1 -2 3 -
6、5 (-6)+(-5)= -11解:=练习7、分解因式:(1) (2) (3) (4)(三)二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式:分析:将看成常数,把原多项式看成关于的二次三项式,利用十字相乘法进行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解:= =练习8、分解因式(1)(2)(3)(四)二次项系数不为1的齐次多项式例9、 例10、 1 -2y 把看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解:原式= 解:原式=练习9、分解因式:(1) (2)综合练习10、(1) (2)(3) (4) (5) (6)(7)
7、 (8)(9) (10)思考:分解因式:五、换元法。例13、分解因式(1) (2)解:(1)设2005=,则原式= = =(2)型如的多项式,分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。 原式=设,则原式= =练习13、分解因式(1) (2) (3)例14、分解因式(1)观察:此多项式的特点是关于的降幂排列,每一项的次数依次少1,并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。方法:提中间项的字母和它的次数,保留系数,然后再用换元法。解:原式=设,则原式= = = =(2)解:原式= 设,则 原式= =练习14、(1) (2)六、添项、拆项、配方法。例15、分解因式(1) 解法1拆项。 解法2
8、添项。原式= 原式= = = = = = =(2)解:原式=七、待定系数法。例16、分解因式分析:原式的前3项可以分为,则原多项式必定可分为解:设=对比左右两边相同项的系数可得,解得原式=例17、(1)当为何值时,多项式能分解因式,并分解此多项式。 (2)如果有两个因式为和,求的值。(1)分析:前两项可以分解为,故此多项式分解的形式必为解:设= 则=比较对应的系数可得:,解得:或当时,原多项式可以分解;当时,原式=;当时,原式=(2)分析:是一个三次式,所以它应该分成三个一次式相乘,因此第三个因式必为形如的一次二项式。解:设= 则= 解得,=21练习17、(3) 已知:能分解成两个一次因式之积
9、,求常数并且分 解因式。(4) 为何值时,能分解成两个一次因式的乘积,并分解此多项式。因式分解小结知识总结归纳 因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式,它和整式乘法互为逆运算,在初中代数中占有重要的地位和作用,在其它学科中也有广泛应用,学习本章知识时,应注意以下几点。 1. 因式分解的对象是多项式; 2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式; 3. 分解因式,必须进行到每一个因式都不能再分解为止; 4. 公式中的字母可以表示单项式,也可以表示多项式; 5. 结果如有相同因式,应写成幂的形式; 6. 题目中没有指定数的范围,一般指在有理数范围内分解; 7. 因式分解的一般步骤是: (1)
10、通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提,其次看能否直接利用乘法公式;如前两个步骤都不能实施,可用分组分解法,分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解; (2)若上述方法都行不通,可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项(添项)等方法; 下面我们一起来回顾本章所学的内容。 1. 通过基本思路达到分解多项式的目的 例1. 分解因式 分析:这是一个六项式,很显然要先进行分组,此题可把分别看成一组,此时六项式变成二项式,提取公因式后,再进一步分解;也可把,分别看成一组,此时的六项式变成三项式,提取公因式后再进行分解。 解一:原式 解二:原式= 2. 通过变形达到分解的目的 例1. 分解因式 8解一:将拆成,则有 解二:将常数拆成,则有 3. 在证明题中的应用 例:求证:多项式的值一定是非负数 分析:现阶段我们学习了两个非负数,它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数,需要变形成完全平方数。 证明: 设,则 4. 因式分解中的转化思想