《高考数学 一轮必备考情分析学案：4.6正弦定理和余弦定理含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学 一轮必备考情分析学案：4.6正弦定理和余弦定理含解析（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 4.6正弦定理和余弦定理考情分析本节是高考必考内容，重点为正弦、余弦定理及三角形面积公式.客观题以考查正、余弦定理解三角形为主；难度不大；解答题主要考查与函数结合，实现角边互化，或利用以解决实际问题，难度中档.基础知识 1.正弦定理与余弦定理定理正弦定理余弦定理内容来源:来源:数理化网来源:变形解决的问题已知两边和任一边，求另一角和其他两条边已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角已知三边，求各角已知两边和它们的夹角求第三边3.三角形的面积公式(1)(2) (3) 4.应用举例利用正弦定理和余弦定理解三角形常用题型有:测量距离问题,测量高度问题,测量角度问题,计算面积问题等.注意事项1.在三
2、角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在ABC中，ABabsin Asin B.2.在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角3.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换题型一利用正弦定理解三角形【例1】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos(AC)cosB1
3、，a2c，求C.解：B(AC)，cosBcos(AC)cos(AC)，1cos(AC)cosBcosAcosCsinAsinCcosAcosCsinAsinC2sinAsinC，sinAsinC.由正弦定理2R，得a2RsinA，c2RsinC，a2c，sinA2sinC，2sin2C，即sin2C，解得sinC或sinC(舍去)，C.【变式1】在ABC中，若b5，B，tan A2，则sin A_；a_.解析因为ABC中，tan A2，所以A是锐角，且2，sin2Acos2A1，联立解得sin A，再由正弦定理得，代入数据解得a2.答案2题型二利用余弦定理解三角形【例2】在ABC中，角A，B，
4、C的对边分别为a，b，c，若a，bc4，B30，则c()A. B. C. 3D. 答案：A解析：在ABC中，由余弦定理得cosB，a，bc4，B30，即34(cb)3c,3c4b，结合bc4解得c.选A.【变式2】已知A，B，C为ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2 cos A0.(1)求角A的值；(2)若a2，bc4，求ABC的面积解(1)由2cos2 cos A0，得1cos Acos A0，即cos A，0A，A.(2)由余弦定理得，a2b2c22bccos A，A，则a2(bc)2bc，又a2，bc4，有1242bc，则bc4，故SABCbcsin A.题型三利用
5、正、余弦定理判断三角形形状【例3】在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin C，试判断ABC的形状解由已知(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin C，得b2sin(AB)sin Ca2sin Csin(AB)，即b2sin Acos Ba2cos Asin B，即sin2Bsin Acos Bsin2Acos Bsin B，所以sin 2Bsin 2A，由于A，B是三角形的内角故02A2，02B2.故只可能2A2B或2A2B，即AB或AB.故ABC为等腰三角形或直角三角形【变式3】 在ABC中，若；则ABC是()A直角三角形 B等边三角形C钝角三角形 D等腰直角三角形解
6、析由正弦定理得a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C(R为ABC外接圆半径).即tan Atan Btan C，ABC.答案B题型四正、余弦定理的综合应用【例4】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A，bsin(C)csin(B)a.(1)求证：BC；(2)若a，求ABC的面积解：(1)证明：由bsin(C)csin(B)a，应用正弦定理，得sinBsin(C)sinCsin(B)sinA，sinB(sinCcosC)sinC(sinBcosB)，整理得sinBcosCcosBsinC1，即sin(BC)1，由于0B，0C，从而BC.(2)BCA，因此B，C，由a
7、，A，得b2sin，c2sin，所以ABC的面积SbcsinAsinsin【变式4】设ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cos B，b2.(1)当A30时，求a的值；(2)当ABC的面积为3时，求ac的值解(1)因为cos B，所以sin B.由正弦定理，可得，所以a.(2)因为ABC的面积Sacsin B，sin B，所以ac3，ac10.由余弦定理得b2a2c22accos B，得4a2c2aca2c216，即a2c220.所以(ac)22ac20，(ac)240.所以ac2.重难点突破【例5】在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a，b，12cos(BC
8、)0，求边BC上的高解析在ABC中，cos(BC)cos A，12cos(BC)12cos A0，A.在ABC中，根据正弦定理，sin B.ab，B，C(AB).sin Csin(BA)sin Bcos Acos Bsin A.BC边上的高为bsin C.巩固提高1. 在ABC中，sin2Asin2Bsin2CsinBsinC，则A的取值范围是()A. (0，B. ，)C. (0，D. ，)答案：C解析：由正弦定理得，a2b2c2bc，即b2c2a2bc，由余弦定理得，cosA.又0A，0AB，所以AC，所以C，选C.3.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ac3，且a3bsinA
9、，则ABC的面积等于()A. B. C. 1D. 答案：A解析：a3bsinA，由正弦定理得sinA3sinBsinA，sinB.ac3，ABC的面积SacsinB3，故选A.4.在ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，且b2a2acc2，CA90，则cosAcosC()A. B. C. D. 答案：C解析：依题意得a2c2b2ac，cosB.又0B180，所以B60，CA120.又CA90，所以C90A，A15，cosAcosCcosAcos(90A)sin2Asin30，选C.5.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b5c，C2B，则cosC()A. B. C. D. 答案：A解析：sinCsin2B2sinBcosB，cosB，cosCcos2B2cos2B1，选A项6.设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA，cosB，b3，则c_.答案：解析：因为cosA，cosB，所以sinA，sinB，sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，由正弦定理，得c.
