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1、（人教版）精品数学教学资料第一章集合与函数概念1.2函数及其表示1.2.1函数的概念(第二课时)学习目标掌握构成函数的三要素,会求一些简单函数的定义域,体会对应关系在刻画函数概念中的作用,使学生感受到学习函数的必要性,激发学生学习的积极性.启发学生运用函数模型表述思考和解决现实世界中蕴含的规律,逐渐形成善于提出问题的习惯,学会用数学表达和交流,发展数学的应用意识.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:y=x与y=是同一个函数吗?二、自主探索,尝试解决问题2:指出函数y=x+1的构成要素有几部分?并思考一个函数的构成要素有几部分?问题3:分别写出函数y=x+1和函数y=t+1的定义域和对应关系,
2、并比较异同.问题4:函数y=x+1和函数y=t+1的值域相同吗?问题5:根据问题3和问题4的研究,分析两个函数的定义域和对应关系分别相同,值域一定相同吗?由此你对函数的三要素有什么新的认识?三、信息交流,揭示规律函数相等的条件:四、运用规律,解决问题【例1】下列函数中哪个与函数y=x相等?(1)y=()2;(2)y=;(3)y=.【例2】判断下列函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数,说明理由.(1)f(x)=(x-1)0,g(x)=1;(2)f(x)=x-1,g(x)=;(3)f(x)=x2,g(x)=(x+1)2;(4)f(x)=x2-1,g(u)=u2-1.【例3】设y是u的函数y=f
3、(u),而u又是x的函数u=g(x),设M表示u=g(x)的值域,N是函数y=f(u)的定义域,当MN,则y成为x的函数,记为y=fg(x).这个函数叫做由y=f(u)及u=g(x)复合而成的复合函数,u叫做中间变量,f称为外层函数,g称为内层函数.指出下列复合函数的外层函数和内层函数,并且使外层函数和内层函数均为基本初等函数.(1)y=;(2)y=(x2-2x+3)2;(3)y=+-1.五、变式演练,深化提高1.判断下列各组的两个函数是否相同,并说明理由.y=x-1,xR与y=x-1,xN;y=与y=;y=1+与u=1+;y=x2与y=x;y=2|x|与y=y=f(x)与y=f(u).是同一
4、个函数的是(把是同一个函数的序号填上即可).2.设f(x)=,则=.3.函数f(x)对任意实数x满足条件f(x+2)=,若f(1)=-5,则ff(5)=.六、反思小结,观点提炼大家分组讨论,由各组小组长宣布本组反思结果.七、作业精选,巩固提高1.设M=x|-2x2,N=y|0y2,给出下列四个图形,其中能表示以集合M为定义域,N为值域的函数关系是()2.某公司生产某种产品的成本为1 000元,以1 100元的价格批发出去,随生产产品数量的增加,公司收入,它们之间是关系.3.函数y=x2与S=t2是同一函数吗?参考答案问题1:两个函数不是同一个函数,主要是定义域不同.问题2:函数y=x+1的构成
5、要素为:定义域R,对应关系xx+1,值域是R.一个函数的构成要素为:定义域、对应关系和值域,简称为函数的三要素.其中定义域是函数的灵魂,对应关系是函数的核心.当且仅当两个函数的三要素都相同时,这两个函数才相同.问题3:两个函数的定义域和对应关系分别相同,分别为R,xx+1,不同点是变量所用字母不同.问题4:两个函数的值域相同,都是R.问题5:值域一定相同.三、信息交流,揭示规律函数相等的条件:如果两个函数的定义域和对应关系分别相同,那么它们的值域一定相等.因此只要两个函数的定义域和对应关系分别相同,那么这两个函数就相等.四、运用规律,解决问题【例1】解:函数y=x的定义域是R,对应关系是xx.
6、(1)函数y=()2的定义域是0,+),函数y=()2与函数y=x的定义域不相同.函数y=()2与函数y=x不相等.(2)函数y=的定义域是R,函数y=与函数y=x的定义域相同.又y=x,函数y=与函数y=x的对应关系也相同.函数y=与函数y=x相等.(3)函数y=的定义域是R,函数y=与函数y=x的定义域相同.又y=|x|,函数y=与函数y=x的对应关系不相同.函数y=与函数y=x不相等.点评:本题主要考查函数相等的含义.讨论函数问题时,要保持定义域优先的原则.对于判断两个函数是否是同一个函数,要先求定义域,若定义域不同,则不是同一个函数;若定义域相同,再化简函数的解析式,若解析式相同(即对
7、应关系相同),则是同一个函数,否则不是同一个函数.【例2】解:(1)f(x)=(x-1)0的定义域是x|x1,函数g(x)=1的定义域是R,函数f(x)=(x-1)0与函数g(x)=1的定义域不同.函数f(x)=(x-1)0与函数g(x)=1不表示同一个函数.(2)f(x)=x-1的定义域是R,g(x)=的定义域是R,函数f(x)=x-1与函数g(x)=的定义域相同.又g(x)=|x-1|,函数f(x)=x-1与函数g(x)=的对应关系不同.函数f(x)=x-1与函数g(x)=不表示同一个函数.(3)很明显f(x)=x2和g(x)=(x+1)2的定义域都是R,又f(x)=x2和g(x)=(x+
8、1)2的对应关系不同,函数f(x)=x2和g(x)=(x+1)2不表示同一个函数.(4)很明显f(x)=x2-1与g(u)=u2-1的定义域都是R,又f(x)=x2-1与g(u)=u2-1的对应关系也相同,函数f(x)=x2-1与g(u)=u2-1表示同一个函数.【例3】解:(1)设y=,u=x+1(x-1),即y=的外层函数是反比例函数y=,内层函数是一次函数u=x+1(x-1).(2)设y=u2,u=x2-2x+3,即y=(x2-2x+3)2的外层函数是二次函数y=u2,内层函数是二次函数u=x2-2x+3.(3)设y=u2+u-1,u=,即y=+-1的外层函数是二次函数y=u2+u-1,
9、内层函数是反比例函数u=.点评:到目前为止,我们所遇到的函数大部分是复合函数,并且是由正、反比例函数和一、二次函数复合而成的,随着学习的深入,我们还会学习其他复合函数.复合函数是高考重点考查的内容之一,应引起我们的重视.五、变式演练,深化提高1.解析:只需判断函数的定义域和对应法则是否均相同即可.前者的定义域是R,后者的定义域是N,由于它们的定义域不同,故不是同一个函数;前者的定义域是x|x-2或x2,后者的定义域是x|x2,它们的定义域不同,故不是同一个函数;定义域相同均为非零实数,对应法则相同都是自变量取倒数后加1,那么值域必相同,故是同一个函数;定义域相同,但对应法则不同,故不是同一个函数;函数y=2|x|=则定义域和对应法则均相同,那么值域必相同,故是同一个函数;定义域相同,对应法则相同,那么值域必相同,故是同一个函数.答案:2.-13.分析:函数f(x)对任意实数x满足条件f(x+2)=,f(x+4)=f(x+2)+2=f(x).f(1)=f(1+4)=f(5).又f(1)=-5,f(5)=-5.ff(5)=f(-5)=f(-5+4)=f(-1)=f(-1+4)=f(3)=f(1+2)=-.答案:-
