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1、高三数学热点问题一：数列苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：热点问题一：数列数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面；（1）数列本身的有关知识
2、，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合，与函数、不等式的综合作为最后一题，难度较大。（文科考查以基础为主，有可能是压轴题）二. 知识整合1. 在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关
3、问题；2. 在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力. 3. 培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景、新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法. 三. 方法技巧1. 判断和证明数列是等差（等比）数列常用的三种方法：(1)定义法：对于n2的任意自然数,验证为同一常数。(2)通项公式法：若（n-1）d=+（n-k）d ，则为等差数列；
4、若 ，则为等比数列。(3)中项公式法：验证中项公式成立。2. 在等差数列中,有关的最值问题常用邻项变号法求解： (1)当0,d0时，满足的项数m使得取最大值.(2)当0时，满足的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列的最值问题时,注意转化思想的应用。3. 数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。四. 注意事项1. 证明数列是等差或等比数列常用定义法，即通过证明 或而得。2. 在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。3. 注意与之间关系的转化。如：= ，=. 4. 解
5、综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略. 【典型例题】话题1：等差、等比数列的项与和的特征问题例1. （四川卷）数列的前项和记为（）求的通项公式；（）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求解：（）由可得，两式相减得又 故是首项为，公比为的等比数列 （）设的公比为，由得，可得，可得故可设 又由题意可得 解得等差数列的各项为正， 例2. (上海卷)设数列的前项和为，且对任意正整数，。（1）求数列的通项公式？（2）设数列的前项和为,对数列，从第几项起？解：(1) an+ Sn=4096, a1
6、+ S1=4096, a1 =2048.当n2时, an= SnSn1=(4096an)(4096an1)= an1an =，an=2048()n1. (2) log2an=log22048()n1=12n, Tn=(n2+23n). 由Tn,而n是正整数,于是,n46. 从第46项起Tn509.例3. (全国卷) 设正项等比数列的首项，前n项和为，且。（）求的通项公式；（）求的前n项和。解：（）由 得 即可得因为，所以 解得，因而 （）因为是首项、公比的等比数列，故则数列的前n项和 前两式相减，得 即 话题2：等差、等比数列的判定问题. 例4. (上海卷)已知有穷数列共有2项（整数2），首项
7、2. 设该数列的前项和为，且2（1，2，21），其中常数1. （1）求证：数列是等比数列；（2）若2，数列满足（1，2，2），求数列的通项公式；（3）若（2）中的数列满足不等式|4，求的值. (1) 证明：当n=1时,a2=2a,则=a；2n2k1时, an+1=(a1) Sn+2, an=(a1) Sn1+2,an+1an=(a1) an, =a, 数列an是等比数列.(2) 解：由(1) 得an=2a, a1a2an=2a=2a=2,bn=(n=1,2,2k).（3）设bn,解得nk+,又n是正整数,于是当nk时, bn.原式=(b1)+(b2)+(bk)+(bk+1)+(b2k)=(bk
8、+1+b2k)(b1+bk)=.当4,得k28k+40, 42k4+2,又k2,当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立.例5. 已知数列中，是其前项和，并且，设数列，求证：数列是等比数列；设数列，求证：数列是等差数列；求数列的通项公式及前项和。分析：由于b和c中的项都和a中的项有关，a中又有S=4a+2，可由S-S作切入点探索解题的途径. 【注2】本题立意与2020年高考题文科20题结构相似.解：(1)由S=4a，S=4a+2，两式相减，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a. (根据b的构造，如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)a-2a=2(a-2a
9、)，又b=a-2a，所以b=2b 已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3 由和得，数列b是首项为3，公比为2的等比数列，故b=32. 当n2时，S=4a+2=2(3n-4)+2；当n=1时，S=a=1也适合上式. 综上可知，所求的前n项和为S=2(3n-4)+2. 说明：1. 本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列的通项公式与前项和。解决本题的关键在于由条件得出递推公式。2. 解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用. 话题3：函数与数列的综合题 数列是一特殊的函数，其定义域
10、为正整数集，且是自变量从小到大变化时函数值的序列。注意深刻理解函数性质对数列的影响，分析题目特征，探寻解题切入点.例6. （2020湖北卷）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点（n，）（n）均在函数的图像上。（）、求数列的通项公式；（）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；点评：本题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。解：（）设二次函数为f(x)ax2+bx (a0) ,则 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因为点均在函数的
11、图像上，所以3n22n.当n2时，anSnSn1（3n22n）6n5.当n1时，a1S13122615，所以，an6n5 （）（）由（）得知，故Tn（1）.因此，要使（1）（）成立的m必须且仅需满足，即m10，所以满足要求的最小正整数m为10.例7. 设，定义，其中nN*.（1）求数列an的通项公式；（2）若求前2n项的和。解：（1）2，数列an是首项为，公比为的等比数列，（2）两式相减得： 例8. （湖北卷）设数列的前n项和为，点均在函数y3x2的图像上。（）求数列的通项公式；（）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m。本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基
12、本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。解：（I）依题意得，即。当n2时，a;当n=1时，-21-1-61-5所以（）。（II）由（I）得，故。因此，使得成立的m必须满足，即m10,故满足要求的最小整数m为10。话题4：数列与解析几何数列与解析几何综合题，是今后高考命题的重点内容之一，求解时要充分利用数列、解析几何的概念、性质，并结合图形求解.例9. 在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数，点位于函数的图像上，且的横坐标构成以为首项，为公差的等差数列.求点的坐标；设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的顶点为，且过点，记与抛物线相切于的直线的斜率为，求：.解：（1）（2）的对称
13、轴垂直于轴，且顶点为.设的方程为：把代入上式，得，的方程为：。，=点评：本例为数列与解析几何的综合题，难度较大。（1）、（2）两问运用几何知识算出. 例10. 已知抛物线，过原点作斜率1的直线交抛物线于第一象限内一点，又过点作斜率为的直线交抛物线于点，再过作斜率为的直线交抛物线于点，如此继续，一般地，过点作斜率为的直线交抛物线于点，设点. 令，求证：数列是等比数列. 并求数列的前项和解：因为、在抛物线上，故，又因为直线的斜率为，即，代入可得， 故是以为公比的等比数列；，话题5：数列创新题例11.（安徽卷）数列的前项和为，已知，2，（）写出与的递推关系式（），并求关于的表达式；（）设，（），求数
14、列的前项和。解：由（）得：，即，所以，对成立。由，相加得：，又，所以，当时也成立。（）由，得。而，例12. （福建卷）已知数列an满足a1=a, an+1=1+我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a=1时，得到无穷数列：（）求当a为何值时a4=0；（）设数列bn满足b1=1, bn+1=，求证：a取数列bn中的任一个数，都可以得到一个有穷数列an； （I）解法一：故a取数列bn中的任一个数，都可以得到一个有穷数列an例13. (全国卷III) 在等差数列中，公差的等比中项.已知数列成等比数列，求数列的通项解：由题意得：即又 又成等比数列,该数列的公比为， 所以又所以数列的通项为话题6：永远的递推例14. 在数列中，（1），则通项公式= （2），则通项公式= （3），则通项公式= （4），当时，则通项公式= （5）已知，则通项公式
