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1、第3章 线性离散时间系统的描述及分析3.1 差分方程及其时域分析3.1.1差分方程3.1.2差分方程的解A 递推解B 古典解C Z变换求解3.2 Z变换3.2.1Z变换的定义3.2.2Z变换的性质3.2.3Z反变换A 长除法B 留数法C 部分分式法3.3 离散时间系统的Z域分析3.3.1零输入响应3.3.2零状态响应3.3.3完全响应3.4 Z传递函数及其求法3.4.1Z传递函数的定义 3.4.2离散系统的运算3.4.3由G(s)求G(z)连续时间系统的离散化推荐精选A 对G(s)的讨论B 对离散化方法的评价C 留数法D 直接代换法E 系统等效法冲击响应不变法；F 系统等效法阶跃响应不变法G
2、部分分式法3.4.4离散化方法小结3.5 线性离散时间系统的稳定性分析3.5.1闭环极点与输出特性之间的关系3.5.2稳定判据3.6 线性离散时间系统的频率特性分析法3.6.1线性离散时间系统的频率特性3.6.2线性离散时间系统的频率特性分析法推荐精选第3章 线性离散系统的描述及分析3.1 差分方程及其时域分析3.1.1 差分方程在线性离散时间动态系统中，输入激励序列u(k)与输出响应序列y(k)之间的动态关系在时域中用差分方程来描述，差分方程一般写成升序方式 (2.1)或写成上式表明某一离散时间点上输出值可能与当前时间点上的输入值（当）以及此前若干个输入和输出值有关。推论开来，当前的输出值是
3、“此前”全部激励和内部状态共同作用的“积累”效应。考虑实时控制系统的时间因果律，必须有mn。当m=n时，表明当前时刻的输入会直接影响当前时刻的输出，可称为“直传”；当mn时，表明当前时刻的输入不会直接影响当前时刻的输出；当前时刻的输入对输出的影响会延时“n-m”拍。差分方程也可以写成降序方式式(2.1)中各项序号均减n推荐精选(2.2)在降序方式中的n和m与升序方式中的n和m的含义不完全相同，因而对n和m并无限制。在降序方式中，当b00时，相当于升序方式中m=n的情况。此时“当前时刻的响应与当前时刻的输入有关”。升序意味着超前，与连续时间系统中的微分相对应；当用Z变换法求解差分方程时，升序方式
4、便于考虑初始条件。降序意味着滞后，与连续时间系统中的积分相对应；当用Z变换法求解差分方程时，降序方式无法考虑初始条件。3.1.2 差分方程的解例：已知差分方程，其中r(k)=1，k0，x(0)=1，x(1)=2试由迭代法求其全解的前5项；分别由古典法求其零输入解yzi(k)、零状态解yzs(k)，以及全解y(k)。给定一个差分方程，根据特定的输入时间序列u(k) 和初始条件，来求得其输出序列y(k)，一般有三种方法。 A. 递推解（迭代解）对式(2.1)差分方程可以写成推荐精选显然给定初始条件后，就可依次求出各点值。但是，式(2.1)差分方程中的n个初始条件x(0)，x(10)， x(n-1)
5、仅仅是指“零输入初始条件”，进行递推求解时的初始条件应该是“全解初始条件”；因而应该先求出其“零状态初始条件”，“全解初始条件”是“零输入初始条件”与“零状态初始条件”之和。上例已知零状态初始条件，由此可递推求得零输入解yzi(k)；可求零输入初始条件，由此可递推求得零状态解yzs(k)；以上初始条件之和为全解初始条件，由此递推即可直接求得全解y(k)=yzi(k)+yzs(k)。B. 古典解法1) 零输入解在式(2.1)中令输入为零，即u(k)=0，k0，则得齐次方程 (2.3)类似于在解线性常微分方程时定义的微分算子p，对差分方程定义一个移序（增序）算子d，即(2.4)于是式(2.3)可以
6、表示成推荐精选以多项式A(d)存在n个单根为例，即 ，则有零输入解yzi(k)的“通解”式为(2.5)其中C1, C2, ., Cn是由n个（另输入）初始条件决定的n个待定常数。设给定初始条件为 y(i)=yi ，i=0，1，n-1，分别代人上式可得 (2.6)可简记为矩阵方式以n个单根为例，矩阵D一定可逆。于是可得待定常数为当A(d)存在重根时，亦可得相应结果，不再赘述。上例求得零输入解yzi(k)。2) 零状态解当“零输入初始状态”为零时，为求得式(2.1)在任意输入u(k)激励下的“零状态响应”yzs(k)，首先考虑单位脉冲激励u(k)=d(k)的特殊情况，此时的系统响应为单位脉冲响应，
7、记为h(k)，式(2.1)成为推荐精选可写成如下形式(2.7)上式中依次令k=-n，-n+1，-2，-1，0，可求得前面n+1个点的结果，当m0时，在式(2.7)中恒有k+m-i0，即恒有d(k+m-i)=0，此时式(2.7)又成为一个齐次方程，等价为(2.8)上式按差分方程的零输入解法求解，并考虑h(0)=0，即可得到式(2.1)的单位脉冲响应序列h(k)，k0。对于一个一般的输入序列u(k)= u(0)，u(1)，u(2)，可以写成按照线性系统的迭加原理，d(k-1)所激励的响应为h(k-i)1(k-i)，i=0，1，于是可得u(k)激励下的响应为推荐精选 (2.9)称为和的“卷和”。显然
8、，卷和的定义与连续时间函数的卷积具有类似的形式。卷和计算例上例求得零状态解yzsi(k)。3) 全解1) 和2)二者之和。上例y(k)=yzi(k)+ yzs(k)。C. Z变换解法后面再讲3.2 Z变换3.2.1 Z变换的定义Z变换是对离散序列定义的，设有则的Z变换定义为（单边）罗朗级数 (2.10)推荐精选z Z变换域变量d 增序算子两者在数字上具有完全相同的表现形式，但意义却不同，不能混淆。就像s S变换域（拉氏变换）变量p 微分算子二者表现形式相同，但意义截然不同为什么要定义Z变换？Z变换把离散（等距时间点上）数值序列变换成有理分式；L变换把连续时间信号变换成有理分式；便于利用代数学的
9、某些结论进行简单处理。Z变换的另一种“定义”对于时域信号y(t)=f(t)，采样得离散信号y*(t)记得第1章中讨论过y*(t)和y*(k)的（冲量的）等价性，取其拉氏变换，得(2.11)再令 ！推荐精选(2.12)即得，二者的结果是一致的。但是，二者有两点区别， 前者是对y(k)定义的，后者是对y*(t)定义的。在离散时间系统中使用前者更符合工程实际。但是，对于首先熟悉了Laplace变换的工程技术人员而言，后者更容易理解。 前者在数学上是严格的；而后者中的式(2.11)容易使得误解z和s之间的关系。实时上z和s之间并没有式(2.11)所示的关系，仅仅是有时同一个被控对象的Z变换传递函数和L
10、变换传递函数的特征根具有那个关系。3.2.2 Z变换的性质A. 在简单的情况下，可直接按定义求得y(k)的Z变换Y(z)。(2.13)(2.14)推荐精选(2.15)做为线性离散系统的Z变换，它有许多与L变换类似的性质，不同的是按照Z变换的定义，这些性质更容易被证明一些。B. 线性迭加性质：已知，下同。按定义可得， (2.16)C. 增序性质：（对应于L变换的微分性质）设g(k)=f(k+n)，k0， 为什么？(2.17)（令i=j+n）注意两点：推荐精选一是为什么要减去前面几项？因为按照定义g(k)中没有这几项！二是与L变换的微分性质相比，形式上多了一个“z”。D. 减序性质：（对应于L变换
11、的积分性质）设g(k)=f(k-n)，k0， 为什么？（令i -n =j）(2.18)为什么第一项没啦？因为按照定义f(k)中的这几项为零！E. 卷和性质：（对应于L变换的卷积性质）(2.19)F. 初值性质：(2.20)证明：按照Z变换的定义。G. 终值性质：推荐精选(2.21)当f(k)不收敛（F(z)中有单位圆外极点）时，终值性质不能使用！证明：同令z1得，其它略3.2.3 Z反变换已知F(z)有理分式，求f(k)使得，记为(2.22)A. 长除法罗朗级数展开如果F(z)是有理分式，必可展开为罗朗级数，如果F(z)是真有理分式，必可展开为（单边）罗朗级数（有始函数），即有 f(k)，k0
12、如果F(z)是严格真有理分式，则一定有f(0)=0。例，推荐精选B. 留数法在实时离散控制系统中有f(k)，k0,则一定有按照复变函数的留数理论，考虑如下围线（逆时针包围含全部极点）积分， 留数是如何定义的？称为的留数于是有(2.23)即在其所有极点zi，i=1，2，n，处的留数之和。按照留数计算规则，若z0是F(z)的单重极点则有若z0是F(z)的m重极点,则有推荐精选C. 部分分式法留数法的特例一般都是直接查表部分分式法是应用留数法得到的一些易于实际应用的特例情况，设F(z)有n个单重根z1，zn，则可以写成部分分式形式 (2.24)按照迭加原理，我们可以求得其中每一项的Z反变换，即按式(
13、2.23)有，(2.25)正是所希望的结果。3.3 离散时间系统的Z域分析利用Z变换求解差分方程。推荐精选3.3.1 零输入响应对式（2.1）所示差分方程，当输入u(k)=0, k0时，成为齐次方程,y(0)=y0，y(1)=y1，.，y(n-1)=yn-1应用Z变换的增序性质，并注意给定的零输入初始条件，得整理可得于是可得式(2.1)的零输入响应为3.3.2 零状态响应设式(2.1)所示系统在没有输入激励时，其内部初始能量积累为零，即所谓零状态，此时不考虑初始条件对式2.1的两边同时进行Z变换，可得定义推荐精选 (2.26)称为离散动态系统式(2.1)的Z传递函数，则上式可写成则有按照卷和定
14、理其中g(k)是什么，以及如何求得g(k)？设u(k)=(k)是一个单位脉冲函数，已知，U(z)=Z(k)=1，即可得系统对u(k)=(k)的零状态响应，称为单位脉冲响应，并记为h(k), k0，并有现在，如欲解析求解式（2.1）所示的差分方程的零状态响应，主要有两种方法。Z域法： 时域法：推荐精选3.3.3 完全响应对式（2.1）求Z变换时，同时考虑初始条件，即可得系统的完全响应，与分别求出yzi(k)和yzs(k)再相加是一致的。即： (2.27)几点说明：在求零状态响应时，显然零状态解yzs(k)的初始n个值并不一定为零，零状态仅仅是说当输入为零时，系统初值为零。求零状态响应时，对式(2.1)两边求Z变换时，此时的yzs(k)与u(k)都是有初值的，因此亦应
