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1、 摘 要在高等数学的学习中,积分不等式的证明始终是一种无论在难度还是技巧性方面都很复杂的内容.对积分不等式的证明措施进行研究不仅可以系统的总结其证明措施，还可以更好的将初等数学的知识和高等数学的结合起来.并且可以拓宽我们的视野、发散我们的思维、提高我们的创新能力，因此可以提高我们解决问题的效率.本文重要通过查阅有关的文献和资料的措施，对其中的内容进行对比和分析,并加以推广和补充,提出自己的观点.本文一方面简介了两个重要的积分不等式并给出了证明,然后分类讨论了证明积分不等式的八种措施,即运用函数的凹凸性、辅助函数法、运用重要积分不等式、运用积分中值定理、运用积分的性质、运用泰勒公式、运用重积分、
2、运用微分中值定理，最后对全文进行了总结核心词：积分不等式,定积分,中值定理，柯西-施瓦兹不等式，单调性ASTRACTWhe wetudmahei,theproof of integer nquatyhas alway ben seen a complexotenbot in difficty and sillIn hisper te roof ehods of integr inequlit are oaniz sysematicalytocomiethknowledge oflemenay mathaics igher maheatics bete.lo or rzns a be boadn
3、ed,thnkin can b dvgciedd nnoatioablity cn be mprove,so as oimprove o eficienc oprol slin.The apris coletd b referin to rlevaliteratre,compang and lyin elaedonten,omplemeing and protin rlated ctent.n ths ape ，woimporantitegral iequaies alongth thi poofmethds are gin fis,an then eig aprceto proo iegra
4、l nultes e iroued,sucha concavit anconetofuntion,etdof aliary ncton,morant inteaineqlty, ntgral me aue theorm, integra pry, Taylor rmu,oub tegral dfferentil mnvautheorem.Finaly,thefll paper is sumarizd.Key wrds: IntegralIequality,finite Itegral,Men Veheorem, auchShwazIequality,ontnicty .引 言不等式在数学中有着
5、重要的作用,在数量关系上,尽管不等关系要比相等关系更加普遍的存在于人们的现实世界里，然而人们对于不等式的结识要比方程迟的多.直到17世纪之后,不等式的理论才逐渐的成长起来,成为数学基本理论的一种重要构成部分.众所周知,不等式理论在数学理论中有着重要的地位，它渗入到了数学的各个领域中,因而它是数学领域中的一种重要的内容.其中积分不等式更是高等数学中的一种重要的内容.事实上有关定积分的概念来源于求平面图形的面积和某些其她的实际问题.有关定积分的思想在古代就有了萌芽，例如在公元前40年左右的古希腊时期,阿基米德就曾经用求和的措施计算过抛物线弓形和其她图形的面积.在历史上,积分观念的形成要比微分早.然
6、而直到7世纪后半期,较为完整的定积分理论还没有可以形成,始终到Nwon-Leibi公式建立之后,有关计算的问题得以解决后,定积分才迅速的建立并成长起来.本论文研究的积分不等式结合了定积分以及不等式.有关它的证明向来是高等数学中的一种重点及难点对积分不等式的证明措施进行研究,并使其系统化,在很大限度上为不同的数学分支之间架起了桥梁深刻的理解及掌握积分不等式的证明措施可以提高我们对其理论知识的理解,同步可以提高我们的发明思维和逻辑思维在论文的第三部分中对积分不等式的证明措施进行了具体的论述.分别从运用函数的凹凸性、辅助函数法、运用重要积分不等式、运用积分中值定理、运用泰勒公式、运用重积分、运用微分
7、中值定理、运用定积分的性质这八个方面给出了例题及证明措施.这样通过几道常用的积分不等式的证明题,从不同的角度,用不同的措施研究、分析了积分不等式的特点,归纳总结出了其证明措施同步论文中也对有的题目给出了多种证明措施,这启示我们对于同一道积分不等式而言它的证明措施往往不止一种,我们需要根据实际状况采用合适的措施去证明,从而达到将问题化繁为简的目的 .几种重要的积分不等式在高等数学的学习中我们遇到过许多重要的积分不等式，如Cahy-Schwaz不等式,oung不等式等.它们的形式及证明措施均有诸多种,在这一小结中我们将给出这两种积分不等式的证明措施21auchy-Schwarz不等式无论是在代数还
8、是在几何中Cch-Schwaz不等式的应用都很广泛，它是不同于均值不等式的另一种重要不等式其形式有在实数域中的、微积分中的、概率空间中的以及维欧氏空间中的4种形式接下来在这一部分中我们将对其在微积分中的形式进行研究.定理2.1 设, 在上持续,则有 2 .证明:要证明原不等式成立，我们只需要证 成立.设,则只要证成立,由在上持续,在内可导,得 . ()由(2.1)式可知在上递增,由,知,故原不等式成立 证毕事实上有关Cchy-Sharz不等式的证明措施有诸多，这里我们采用的证明措施是较为普遍的辅助函数法,它将要证明的原积分不等式通过移项转变为了判断函数在两个端点处函数值大小的问题.通过观测我们
9、可以进一步发现原Cauchy-chwrz不等式可以改写成如下行列式的形式,由此我们可以联想到与否可以将它进行推广?答案是肯定的.下面我们将给出不等式的推广形式定理2.22设,在上可积,则 证明:对任意的实数,，,有注意到有关,的二次型事实上为半正定二次型,从而其系数矩阵行列式为 证毕以上的推广是将Cauchy-wa不等式的行列式由二阶推广到了三阶的形式，事实上Cauchy-chwarz不等式是一种在诸多方面都很重要的不等式,例如在证明不等式,求函数最值等方面.若能灵活的运用它则可以使某些较困难的问题得到解决.下面我们会在第三部分给出CauchyShwa不等式及其推广形式在积分不等式证明中的应用
10、除了Cauhy-Scharz不等式之外尚有诸多重要的积分不等式,例如Young不等式，相较于CaySchwrz不等式我们对oun不等式的理解比较少,事实上它也具有不同的形式且在现代分析数学中有着广泛的应用.接着我们将对oug不等式进行某些研究.2.2 Yong不等式oun不等式,以及和它有关的Minkowski不等式，lr不等式,这些都是在现代分析数学中应用十分广泛的不等式，在调和函数、数学分析、泛函分析以及偏微分方程中这三个不等式的身影随处可见,是使用得最为普遍,最为平凡的知识工具.下面我们将给出积分形式的oung不等式的证明.定理2.33 设在（）上持续且严格递增,若，且，则,其中是的反函
11、数，当且仅当时等号成立.证明:引辅助函数, (2）把看作参变量,由于，且严格递增,于是当 时,；当 时,;当 时,因此 当时，取到的最大值，即 (2.)由分部积分得,作代换,上面积分变为, (2.4)将(2.2)式和(24)式代入(2.3）式得,即 证毕3.定积分不等式常用的证明措施有关积分不等式的证明措施较为繁多,难度及技巧性也较大，因此对其进行系统的归纳总结是很有必要的.在这一部分中我们将归纳出运用辅助函数、微分中值定理、重要积分不等式及积分中值定理等证明积分不等式的措施.1运用函数的凹凸性在数学分析以及高等数学中,我们常常会遇到一类特殊的函数凸函数.凸函数具有重要的理论研究价值和广泛的实
12、际应用,在有些不等式的证明中，若能灵活地运用凸函数的性质往往可以简洁巧妙的解决问题.下面给出一种例子加以阐明.定理3.1 若定义在间隔内,且,则必为下凸函数.定理2 设在上为可积分函数,而又设在间隔内为持续的下凸函数，则有不等式.例3. 设在上持续，且，求证:.证明: 取, 由于,即在时,为凸函数,故有,即，故. 证毕在上述的题目中我们可以发目前证明中常常先运用导数来判断函数的凹凸性，然后再运用凹(凸)函数的性质来证明不等式.然而对于实际给出的题目，我们往往需要先构造一种凹（凸)函数,然后才干运用其性质来证明我们所要证明的问题.3.2 辅助函数法 辅助函数法是积分不等式证明中的一种非常重要的措
13、施,往往我们会根据不等式的特点,构造与问题有关的辅助函数，考虑在相似的区间上函数所满足的条件,从而得出欲证明的结论在第二部分中我们用辅助函数法对CuchSchwar不等式进行了证明,下面将对用辅助函数法证明积分不等式进行进一步的探讨例3.2.15 设函数在区间上持续且单调递减,证明：对时,有： .证明：令 ,由持续,得可导则 ,.由于在上单调减少,而,有，从而，在上单调减少，则对任意,有即,两边同乘，即得 证毕本题根据积分不等式两边上下限的特点,在区间上构造了一种辅助函数,进一步我们可以思考对于一般的情形，该题的结论与否仍然成立呢?答案是肯定的例3.22设函数在区间上持续且单调递减非负,证明:对,且时，有: 证明:令,由持续，得可导, 则 , 由于在上单调减少，而,有,从而，在上单调减少，则对任意,有,即 . (3.1)由非负,可得 (3)结合(3.1)式和(3.）式可得 .即 证毕例3.6 函数在上持续,且 试证:.在例3中我们给出了本题运用函数的凹凸性证明的过程,在这里我们将给出其运用辅助函数法证明的过程.证
