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1、平行四边形创新题赏析平行四边形部分是初中数学的重点内容,在各地中考试卷中都占有一定的分量。随着课程改革的进一步深入,出现了许多构思新、重素质、考能力的创新题型,令人耳目一新;它对培养和考查学生的发散能力和综合能力大有裨益。现例举中考题几例并加以归类浅析,希望对同学们有所启发。一、补充说理型例1. 如图1,已知四边形ABCD是平行四边形,BCD的平分线CF交边AB于F,ADC的平分线DG交边AB于G。(1)求证:AFGB;(2)请你在已知条件的基础上再添加一个条件,使得EFG为等腰直角三角形,并说明理由。图1解析:(1)四边形ABCD是平行四边形ABCD,AGDCDG又DG是ADC的平分线ADG
2、GDCAGDADGADAG同理可得:BFBC在平行四边形ABCD中,ADBCAGBFAFGB(2)可以添加条件ADC90或四边形ABCD是矩形说理如下:四边形ABCD是矩形ADCBCD90又DG、CF平分ADC和BCDEDCECD45AGDBFC45,FEG90即EFG是等腰直角三角形。点评:此例把解题的主动性交给学生,让学生添加条件再说理,给学生创造了一个适度的思维空间;富有创意,活而不难,有利于激发学生的信心和探索欲望。二、判断类比型例2. 已知任意四边形ABCD,且线段AB、BC、CD、DA、AC、BD的中点分别是E、F、G、H、P、Q。(1)若四边形ABCD如图2-1,判断下列结论是否
3、正确(正确的在括号里填“”,错误的在括号里填“”)。甲:顺次连接EF、FG、GH、HE一定得到平行四边形;( )乙:顺次连接EQ、QG、GP、PE一定得到平行四边形。( )(2)请选择甲、乙中的一个,证明你对它的判断。(3)若四边形ABCD如图2-2,请你判断(1)中的两个结论是否成立?解析:(1)甲的判断是正确的;乙的判断是错误的。(2)对甲说理如下:连接EF、FG、GH、HE(如图2-3)E、F分别是AB、BC的中点EF是ABC的中位线同理,HGACEFHG,EFHG四边形EFGH是平行四边形对乙可举反例说明:如图2-4,在矩形ABCD中,顺次连接EQ、QG、GP、PE得到一条线段,而不是
4、一个平行四边形。(3)对图2-2,类似于(1)中的结论甲、乙都成立。点评:此例通过设计问题串,让学生经历判断、归纳,从而建立认识,再作判断;体现了新课程下命题者关注学生思维过程的良苦用心。三、猜想证明型例3. 已知:如图3,四边形ABCD是菱形,E是BD延长线上一点,F是DB延长线上一点,且DEBF。请你以F为一个端点,和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段,猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只须证明一组线段相等即可)。图3(1)连接_;(2)猜想_;(3)证明解析:连接AF,猜想AFAE。证明:连接AC,交BD于O四边形ABCD是菱形,ACBD于O,DOBODEBF,EOFOAC垂直
5、平分EFAFAE点评:此例要求学生经历探索猜想证明的思维过程,这种螺旋上升的结构符合学生的心理特征和认知规律。让考生在试卷上留下思维的痕迹,能创造性地激活学生的思维。四、运动探究型例5. 如图4,已知平行四边形ABCD及四边形外一直线,四个顶点A、B、C、D到直线的距离分别为a、b、c、d。(1)观察图形,猜想得出a、b、c、d满足怎样的关系式?证明你的结论。(2)现将向上平移,你得到的结论还一定成立吗?请分情况写出你的结论。解析:(1)证明:连接AC、BD,且AC、BD相交于点O,为点O到的距离图4为直角梯形的中位线同理:(2)不一定成立。分别有以下情况:直线过A点时,;直线过A点与B点之间
6、时,;直线过B点时,;直线过B点时与D点之间时,;直线过D点时,;直线过C点与D点之间时,;直线过C点时,;直线过C点上方时,。点评:将静态的数学与动态的变化结合起来,给数学以生命,让学生在图形的变化中理解体验变与不变。本题以“平行四边形”、“线”为背景,在“动”中开拓学生视野,拓宽学生的思维空间,在“静”中寻找关系,从而找到解决问题的途径。该题较好地考查了学生观察、分析、判断论证能力和探究创新能力;有利于培养学生严谨的思维习惯和缜密的治学态度。五、图形设计型例5. 在ABC中,借助作图工具可以作出中位线EF,沿着中位线EF一刀剪切后,用得到的AEF和四边形EBCF可以拼成平行四边形EBCP,
7、剪切线与拼图如图示1,仿上述的方法,按要求完成下列操作设计,并在规定位置画出图示。图示1(1)在ABC中,增加条件_,沿着_一刀剪切后可以拼成矩形,剪切线与拼图画在图示2的位置;(2)在ABC中,增加条件_,沿着_一刀剪切后可以拼成菱形,剪切线与拼图画在图示3的位置;(3)在ABC中,增加条件_,沿着_一刀剪切后可以拼成正方形,剪切线与拼图画在图示4的位置;(4)在ABC(ABAC)中,一刀剪切后也可以拼成等腰梯形,首先要确定剪切线,其操作过程(剪切线的作法)是_然后,沿着剪切线一刀剪切后可以拼成等腰梯形,剪切线与拼图画在图示5的位置。解:(1)方法一:B90,中位线EF,如图示2-1。方法二
8、:ABAC,中线(或高)AD,如图示2-2。(2)AB2BC(或者C90,A30),中位线EF,如图示3。(3)方法一:B90且AB2BC,中位线EF,如图示4-1。方法二:ABAC且BAC90,中线(或高)AD,如图示4-2。(4)方法一:不妨设BC,在BC边上取一点D,作GDBB交AB于G,过AC的中点E作EFGD交BC于F,则EF为剪切线,如图示5-1。方法二:不妨设BC,分别取AB、AC的中点D、E,过D、E作BC的垂线,G、H为垂足,在HC上截取HFGB,连接EF,则EF为剪切线,如图示5-2。方法三:不妨设BC,作高AD,在DC上截取DGDB,连接AG,过AC的中点E作EFAG交B
9、C于F,则EF为剪切线,如图示5-2。点评:重视提高动手操作能力和实践能力,是素质教育新课程的切入点。此类题设计新颖,不落俗套,为考生画图操作、类比联想、反思探究提供了自由发挥、自主探究的广阔思维空间;对进一步理解和应用所学知识,发展创新能力、实践能力、操作能力大有裨益;让学生在具体的操作情境中,领悟数学的发展与形成的真谛。初三中考作业本有这样一道题:如图所示,已知四边形纸片ABCD,现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片,如果限定裁剪线有两条,能否做到:_(选填能或不能),请确定裁剪线的位置,并说明拼接方法:若填不能,请简要说明理由. 拿到此题,学生们感觉无从下手.仔细分析此题,
10、此题涉及到如何剪,如何拼的问题,因而我作了如下的解题分析.一.寻找解题思路.(1)由于四边形内角和为3600,因而可以将四个内角拼成一个周角,可以进行平面镶嵌. (2)由于拼成的四边形是平行四边形,因而必须注意边长的特殊性,可以取各边的中点. 在找到思路的基础上,我们就可动手裁剪-沿对边的中点剪开,分割成四部分. 二.如何拼凑是本题的难点,关键是不能将剪下的图形弄乱.拼时以其中一块图形不动,抓相等的边拼在一起,以相临两边的中点为旋转中心将其中两块图形转1800,不相临的第三块图形平移到空缺处. 三.如何说明它是平行四边形. (1)必须说明三点共线.可用两角之和为1800. (2)必须说明它是平行四边形.可用角的关系证明两组对边平行. 经过以上的分析,裁剪,拼凑,证明,才可完整的完成此题.5