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1、29.最值问题知识纵横求某个量、或者几个量的和、差、积、商的最大值和最小值，是数学问题中的一种常见类型，又在实际生活与生产实践中，我们经常碰到一些带有“最”字的问题,如投入最少、路程最短、材料最省等，这些问题我们称之为最值问题，在现阶段，解这类问题的基本知识与基本方法有：1. 穷举获取；2. 运用非负数的性质；3. 利用不等分析逼近求解;4. 使用几何公理、定理、性质等.解这类问题时，既要说明最值可以达到，又要证明不可能比所求的值更大(或更小)，前者需构造一个恰当的例子,后者需要详细说理.例题求解xym5【例1】设自然数x,y,m,n满足条件一=一=一=石，则x+y+m+n的最小值是.ymn8
2、(湖北省黄冈市竞赛题)思路点拨把连等式拆开用,用一个字母的代数式表示另一个字母,利用隐含整除条件,分别求出x,y,m,n的最小值.58864解：1157提示:x=y,m=y,n=m=y,因25|y,8|y,故y有最小值200.85525【例2】设a、b、c满足a2+b2+c2=9,那么代数式(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2的最大值是().A.27B.18C.15D.12(全国初中数学联赛题)思路点拨利用乘法公式,把代数式变形成与已知条件关联的式子,进而求出最大值.解:选A提示:原式=3(a2+b2+c2)-(a+b+c)2277n6【例3】已知n、k均为自然数，且满足不等式石,若对于某
3、一给定的自13n+k11然数n,只有惟一的一个自然数k使不等式成立，求所有符合要求的自然数n中的最大数和最小数.(“希望杯”邀请赛试题)思路点拨解关于k的不等式组，利用已知条件的约束,通过穷举求出n的最大数与最小数.5k66n75n6n石k丁亠一7n611n+k13解:提示：由乜冷n，得石r7因k为自然数,且对于给定的n来说,k的值只有一个.65故一n-nW2，得nW8476当n=84时,代入有70k7当n=8,n=9,n=10,n=12时,2 61514132有Qk6,7k7,8k8,9k60S=4x+3y+2z1x=z2由，得3y=360-3zI21代入，整理得S=1080-z,因S随z的
4、增大而减小，故由知当z=60时,S=1050（千元），此时x=30，y=270.学力训练一、基础夯实1. 多项式x2+y2-6x+8y+7的最小值为.（第17届江苏省竞赛题）2. 在式子丨x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4丨中，用不同的x值代入，得到对应的值,在这些对应的值中，最小的值为.993如果把分数7的分子、分母分别加上正整数a，b结果等于13，那么a+b的最小值是.（第15届江苏省竞赛题）4. 当x=且y=时,代数式-x2-2y2-2x+8y-5有最大值，这个最大值是.5. 若a、b、c、d为整数，且b是正整数，满足b+c=d,c+d=a,a+b=c,那么a+b+c+d的最大值
5、是（）A.lB.-5C.0D.16. 多项式5x2-4xy+4y2+12x+25的最小值为（）.A.4B.5C.16D.25（“五羊杯”竞赛题）2x-15-3x7. 已知一312x-2，求|x1|x+3|的最大值和最小值.&某校举行庆祝“十六大”的文娱汇演，评出一等奖5个，二等奖10个，三等奖15个,学校决定给获奖的学生发奖品,同一等次的奖品相同，并且只能从下表所列物品中选取一件:品名小提琴运动服笛子舞鞋口琴相册笔记本钢笔单价（元）12080242216654（1）如果获奖等次越高，奖品单价就越高，那么学校最少要花多少钱买奖品?（2）学校要求一等奖的奖品单价是二等奖奖品单价的5倍，二等奖的奖品
6、单价是三-#-等奖奖品单价的4倍,在总费用不超过1000元的前提下,有几种购买方案?花费最多的一种方案需要多少钱?（2003年江苏泰州市试题）9. 现有某物质73吨,计划用载重量分别为7吨和5吨的两种卡车一次运走,且每辆车都要装满，已知载重量7吨的卡车每台车运费65元，载重量5吨的卡车每台车运费50元,问最省运费是多少元？（2002年重庆市竞赛题）三、能力拓展10. 设m，n是非零自然数，并且19n2-98n-m=0，则m+n的最小值是.（国家理科实验班招生试题）11. 设a1，a2,ak为k个互不相同的正整数，且al+a2+ak=1995，那么,k的最大值是12. a、b、c是非负数，并且满
7、足3a+2b+c=5,2a+b-3c=l,设m=3a+b-7c,设x为m的最小值,y为m的最大值，则xy=.（2003年北京市竞赛题）13. 甲、乙两个粮库分别存粮600吨、1400吨,A、B两市分别用粮1200吨、800吨,需从甲、乙两粮库调运，由甲库到A、B两市的运费分别为6元/吨、5元/吨；由乙库到A、B两市的运费分别是9元/吨、6元/吨,则总运费最少需元.（北京市“迎春杯”竞赛题）14. 设a、b、c、d都是整数，且a3b,b5c,c7d,d30,则a的最大可能值是（）.A.3026B.3029C.3045D.3150（“数学新蕾”竞赛题）15. 某种出租车的收费标准是:起步价5元（即
8、行驶距离不超过3千米都需付5元车费）,超过3千米以后,每增加0.5千米,加收0.9元（不足0.5千米按0.5千米计）,某人乘坐这种出租车从甲地到乙地共支付车费19.4元，则此人从甲地到乙地经过的路的最远可能值是（）千米.A.12B.11C.10D.9（2002年重庆市竞赛题）16. 把一根1m长的金属线材，截成长为23cm和13cm的两种规格，用怎样的方案截取材料利用率最高?求出最高利用率.（利用率=实际利用材料长度原材料长度X100%，截口损耗不计）17. 已知严2,a2002的值都是+1或-1,设S是这2002个数的两两乘积之和,（1）求S的最大值和最小值,并指出能达到最大值，最小值的条件
9、；（2）求S的最小正值，并指出能达到最小正值的条件.（2002年“我爱数学”夏令营竞赛题）三、综合创新18.6盒火柴按“规则方式”打包，所谓“规则方式”是指每相邻2盒必须是以完全重合的面对接，最后得到的包装形状是一个长方体，已知火柴盒的长、宽、高尺寸分别是:a=46mm,b=36mm,c=16mm，请你给出一种能使表面积最小的打包方式，并画出其示意图。19.永强加工厂接到一批订单，为完成订单任务，需用a米长的材料440根,b米长的材料480根，可采购到的原料有三种,一根甲种原料可截得a米长的材料4根,b米长的材料8根,成本为60元;一根乙种原料可截得a米长的材料6根,b米长的材料2根，成本为5
10、0元;一根丙种原料可截得a米长的材料4根,b米长的材料4根,成本为40元，问怎样采购,可使材料成本最低？（第六届北京市数学知识应用竞赛试题）答案9+a913a1.-18提示:原式=(x-3)2+(y+4)2-182.43.28提示：由二一，得b=6+7+b1394.-1,-2,4提示：原式=4-(x+l)2-2(y+2)25.B6. C提示:原式=(x-2y)2+(2y+3)2+164(X1)一77. 提示:解不等式，得xW着,原式=2x2(3x1),114(x3)3从而知最大值为4,最小值为-311.&（1）最少花钱数为6X5+5X10+4X15=140（元）（2）有两种购买方案.方案1：三
11、等奖、二等奖、一等奖分别选4元、16元、80元单价的奖品；方案2：三等奖、二等奖、一等奖分别选6元、24元、120元单价的奖品.花费最多的是后者,为930元.9.7吨卡车一吨运费为65宁7=9（元/吨），5吨卡车一吨运费为50宁5=10（元/吨），73-5y因此，应尽量使用7吨卡，设7吨卡车x辆,5吨卡车y辆，则7x+5y=73,x=当y=2时,x最大值为9,此时运费为9X65+2X50=685(元)10.102提示：m=n(19n-98)三0,19n-982011.62提示:不妨设axa2ak，又因&严2,%都为正整数,可知a11,a222,ak2k,12k则有1+2+kWa+a+a=199
12、5,12kk(k+1)即W1995，得1WkW62,另12.方面，当a1=1,a2=2,-a6=6,a62=104时,这样的aa?,ak确实满足条件57713.13800元提示:设由甲库调运x吨粮食到B市，总运费为y,则y=5x+6(600-x)+6(800-x)+9(600+x)=13800+2x(0WxW600)14.A提示:设整数a,b,若ab,则a+bWb15.B16.提示:设1m的金属线材截取长为23cm的线材x根，截取长为13cm的线材y根,则材料的利用率n23x+13y_15_X100%,由题意,知23x+13yW100,0WxW4,0WyW7,x,y都是整数，且23x+13y尽可能接近100,当x=4时，y=0,n=92%;当x=3时，y=2,n=95%;当x=2时，y=4,n=98%;当x=1时，y=5,n=8
