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1、第二章 推理与证明(限时120分钟；满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1根据偶函数定义可推得“函数f(x)x2在R上是偶函数”的推理过程是A归纳推理B类比推理C演绎推理 D非以上答案解析由偶函数定义，定义域关于原点对称的函数f(x)满足f(x)f(x)，则f(x)为偶函数，f(x)x2时，f(x)f(x)，“f(x)x2在R上是偶函数”是利用演绎推理答案C2命题“有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是A使用了归纳推理B使用了类比推理C使用了“三段论”，但大前提错误D
2、使用了“三段论”，但小前提错误解析大前提错误，小前提正确，故选C.答案C3由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面_”A各正三角形内一点B各正三角形的某高线上的点C各正三角形的中心D各正三角形外的某点解析正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心答案C4用反证法证明：若ab0，则2a2b的假设为A.2a2b D.2a2b解析易知“”的否定为“”，故选C.答案C5观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10A28 B76C123 D199解析利用归纳法，
3、ab1，a2b23，a3b3431，a4b4437，a5b57411，a6b611718，a7b7181129，a8b8291847，a9b9472976，a10b107647123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和答案C6用数学归纳法证明等式123(n3)(nN*)，验证n1时，左边应取的项是A1 B12C123 D1234解析n1时，n34，左边1234.答案D7已知数列an的前n项和为Sn，且a11，Snn2an(nN)，可归纳猜想出Sn的表达式为A. B.C. D.解析由a11，得a1a222a2，a2，S2；又1a332a3，a3，S3；又1a416a4，得a4，S4.由S
4、1，S2，S3，S4可以猜想Sn.答案A8观察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(x)Af(x) Bf(x)Cg(x) Dg(x)解析观察可知，偶函数f(x)的导函数g(x)都是奇函数，所以g(x)g(x)答案D9已知abc0，则abbcca的值A大于0 B小于0C不小于0 D不大于0解析(abc)2a2b2c22(abbcca)0，又a2b2c20，abbcca0.答案D10若P，Q(a0)，则P，Q的大小关系是APQ BPQCPQ D由a的取值确定解析a(a5)(a3)(
5、a2)，2a52a5，即()2()2，即P2Q2，PQ成立答案C11(2019北京)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2y21|x|y就是其中之一(如图)给出下列三个结论：曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是A BC D解析由x2y21|x|y，当x0时，y1；当y0时，x1；当y1时，x0或x1.故曲线C恰好经过6个整点：A(0，1)，B(0，1)，C(1，0)，D(1，1)，E(1，0)，F(1，1)，所以正确由基本不等式，当y0时，x2y21|x|y1|x
6、y|1，所以x2y22，所以，故正确如图，由知长方形CDFE面积为2，三角形BCE面积为1，所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3，故错误答案C12把数列2n1依次按第一个括号一个数，第二个括号二个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，循环分为(3)，(5，7)，(9，11，13)，(15，17，19，21)，(23)，(25，27)，(29，31，33)，(35，37，39，41)，(43)，则第104个括号内各数之和为A2 036 B2 048C2 060 D2 072解析从第1个括号到第104个括号，总共有26个循环，每个循环共有123410个数字，从第一个括号到
7、第104个括号共有260个数字，第104个括号内各数之和为：(22571)(22581)(22591)(22601)2 072.答案D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图形中有_个小正方形解析第1个图中有3个小正方形，第2个有336个小正方形，第3个有6410个小正方形，第4个图形有10515个小正方形，第5个图形有15621个正方形，第6个图形有21728个正方形答案2814观察分析下表中的数据：多面体面积(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等
8、式是_解析观察分析、归纳推理观察F，V，E的变化得FVE2.答案FVE215若符号“*”表示求实数a与b的算术平均数的运算，即a*b，则a(b*c)用含有运算符号“*”和“”表示的另一种形式是_解析a(b*c)a(ab)*(ac)答案(ab)*(ac)16设a，b是两个实数，给出下列条件：ab1；ab2；ab2；a2b22；ab1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是_(填序号)解析若a，b，则ab1，但a1，b1，故推不出；若ab1，则ab2，故推不出；若a2，b3，则a2b22，故推不出；若a2，b3，则ab1，故推不出；对于，即ab2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设
9、a1且b1，则ab2与ab2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.答案三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)用反证法证明：已知a与b均为有理数，且与都是无理数，证明：是无理数证明假设为有理数，则()()ab，由a0，b0，得0.a，b为有理数且为有理数，即为有理数()()，即2为有理数从而也就为有理数，这与已知为无理数矛盾，一定为无理数18(12分)已知a，b，c是不全相等的正数，且abc1，求证：.证明a，b，c是不全相等的正数，且abc1， .故.19(12分)观察下表1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，1
10、2，13，14，15，问：(1)此表第n行的最后一个数是多少？(2)此表第n行的各个数之和是多少？解析(1)由表知，每行的第一个数为偶数(第一行除外)，所以第n1行的第一个数为2n，所以第n行的最后一个数为2n1.(2)由(1)知第n1行的最后一个数为2n11，第n行的第一个数为2n1，第n行的最后一个数为2n1.又由观察知，每行数字的个数与这一行的第一个数相同，所以由等差数列求和公式得，Sn22n322n22n2.20(12分)试比较2n2与n2的大小(nN)，并用数学归纳法证明你的结论解析当n1，n2，n3时都有2n2n2成立，所以猜想2n2n2成立下面用数学归纳法证明：当n1时，左边21
11、24，右边1，左边右边所以原不等式成立当n2时，左边2226，右边224，所以左边右边；当n3时，左边23210，右边329，所以左边右边假设nk(k3且kN)时，不等式成立，即2k2k2.那么nk1时，2k1222k22(2k2)22k22.又因2k22(k1)2k22k3(k3)(k1)0，所以2k12(k1)2成立根据和，原不等式对于任意nN都成立21(12分)如图，三棱台DEFABC中，AB2DE，G，H分别为AC，BC的中点(1)求证：BD平面FGH；(2)若CFBC，ABBC，求证：平面BCD平面EGH.证明(1)证法一如图，连接DG，CD，设CDGFO，连接OH.在三棱台DEFA
12、BC中，AB2DE，G为AC的中点，可得DFGC，DFGC，所以四边形DFCG为平行四边形，则O为CD的中点又H为BC的中点，所以OHBD.又OH平面FGH，BD平面FGH，所以BD平面FGH.证法二在三棱台DEFABC中，由BC2EF，H为BC的中点，可得BHEF，BHEF，所以四边形BHFE为平行四边形，可得BEHF.又BE平面EFG，HF平面EFG，HF平面ABED.在ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GHAB.AB平面EFG，GH平面EFG，GH平面ABED.又GHHFH，所以平面FGH平面ABED.因为BD平面ABED，所以BD平面FGH.(2)如图，连接HE.因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GHAB.由ABBC，得GHBC.又H为BC的中点，所以EFHC，EFHC，因此四边形EFCH是平行四边形所以CFHE.又CF
