《高考数学一轮复习第5章数列5.3等比数列及其前n项和学案文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习第5章数列5.3等比数列及其前n项和学案文（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、53等比数列及其前n项和知识梳理1等比数列的有关概念(1)等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q0)表示数学语言表达式：q(n2)，q为常数，q0.(2)等比中项如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即：G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2ab.2等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列an的首项为a1，公比是q，则其通项公式为ana1qn1；可推广为anamqnm.(2)等比数列的前n项和公式：当q1时，Snna1；当q1时，Sn.3等比数列的相
2、关性质设数列an是等比数列，Sn是其前n项和(1)若mnpq，则amanapaq，其中m，n，p，qN*.特别地，若2spr，则apara，其中p，s，rN*.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，akm，ak2m，仍是等比数列，公比为qm(k，mN*)(3)若数列an，bn是两个项数相同的等比数列，则数列ban，panqbn和(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列(4)SmnSnqnSmSmqmSn.(5)当q1或q1且k为奇数时，Sk，S2kSk，S3kS2k，是等比数列，公比为qk.当q1且k为偶数时，Sk，S2kSk，S3kS2k，不是等比数列(6)若a1a2anTn，
3、则Tn，成等比数列(7)若数列an的项数为2n，则q；若项数为2n1，则q.诊断自测1概念思辨(1)如果an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列()(2)如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列()(3)在等比数列an中，如果mn2k(m，n，kN*)，那么amana.()(4)数列an的通项公式是anan，则其前n项和为Sn.()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(必修A5P53T1)若等比数列an满足a1a320，a2a440，则公比q()A1 B2 C2 D4答案B解析由题意，得解得故选B.(2)(必修A5P56例1)设an是公比为正数的等比数列，若
4、a11，a516，则数列an的前7项和为_答案127解析a5a1q4得q2，所以S7127.3小题热身(1)(2018华师一附中联考)在等比数列an中，a2a3a48，a78，则a1()A1 B1 C2 D2答案A解析因为数列an是等比数列，所以a2a3a4a8，所以a32，所以a7a3q42q48，所以q22，a11.故选A.(2)(2018安徽芜湖联考)在等比数列an中，a37，前3项之和S321，则公比q的值为()A1 BC1或 D1或答案C解析根据已知条件得得3.整理得2q2q10，解得q1或q.故选C.题型1等比数列基本量的运算(2017广东惠州第二次调研)已知an为等比数列，a4a
5、72，a5a68，则a1a10()A7 B5 C5 D7方程组法答案D解析由a5a6a4a7，得a4a78，解得a44，a72或a42，a74，q3或q32.当q3时，a1a10a4q6427；当q32时，a1a10a4q6(2)(2)27.故选D.(2017金凤区四模)设等比数列an的前n项和为Sn，若S510，S1050，则S20等于()A90 B250 C210 D850方程思想即“知三求二”答案D解析由题意数列的公比q1，设首项为a1，则S510，S1050，10，50，两式相除可得1q55，q54，S20(1256)850.故选D.方法技巧等比数列的基本运算方法及数学思想1等比数列的
6、基本运算方法(1)对于等比数列问题一般要给出两个条件，可以通过列方程(组)求出a1，q.如果再给出第三个条件就可以完成an，a1，q，n，Sn的“知三求二”问题(2)对称设元法：一般地，连续奇数个项成等比数列，可设为，x，xq，；连续偶数个项成等比数列，可设为，xq，xq3，(注意：此时公比q20，并不适合所有情况)这样即可减少未知量的个数，也使得解方程较为方便2基本量计算过程中涉及的数学思想方法(1)方程思想，即“知三求二”(2)分类讨论思想，即分q1和q1两种情况，此处是常考易错点，一定要引起重视(3)整体思想应用等比数列前n项和时，常把qn，当成整体求解见典例2.冲关针对训练(2017江
7、苏高考)等比数列an的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3，S6，则a8_.答案32解析设an的首项为a1，公比为q，当q1时，显然不符合题意，舍去；当q1时，由等比数列前n项和公式可得解得所以a8272532.题型2等比数列的判断与证明已知数列an的前n项和为Sn，且对任意的nN*有anSnn.(1)设bnan1，求证：数列bn是等比数列；(2)设c1a1且cnanan1(n2)，求cn的通项公式本题用定义法解(1)证明：由a1S11及a1S1，得a1.又由 anSnn及an1Sn1n1，得an1anan11，2an1an1.2(an11)an1，即2bn1bn.数列bn是以b1a11为
8、首项，为公比的等比数列(2)由(1)知2an1an1.2anan11(n2)2an12ananan1.2cn1cn(n2)又c1a1，a2a1a22，a2.c2，c2c1.数列cn是首项为，公比为的等比数列cnn1n.条件探究将典例条件“anSnn”变为“a11，Sn14an2，若bnan12an”，(1)求证bn是等比数列，并求an的通项公式；(2)若cn，证明cn为等比数列解(1)an2Sn2Sn14an124an24an14an.2，数列bn是公比为2的等比数列，首项为a22a1.S2a1a24a12，a25，b1a22a13.bn32n1an12an，3.数列是等差数列，公差为3，首项
9、为2.2(n1)33n1.an(3n1)2n2.(2)证明：由(1)知an(3n1)2n2，所以cn2n2.所以2.又c1，所以数列cn是首项为，公比为2的等比数列方法技巧等比数列的判定方法1定义法：若q(q为非零常数，nN*)或q(q为非零常数且n2，nN*)，则an是等比数列见典例2等比中项公式法：若数列an中，an0且aanan2(nN*)，则数列an是等比数列3通项公式法：若数列通项公式可写成ancqn(c，q均是不为0的常数，nN*)，则an是等比数列4前n项和公式法：若数列an的前n项和Snkqnk(k为常数且k0，q0,1)，则an是等比数列提醒：(1)前两种方法是判定等比数列的
10、常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可冲关针对训练(2016全国卷)已知数列an的前n项和Sn1an，其中0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5，求.解(1)由题意得a1S11a1，故1，a1，a10.由Sn1an，Sn11an1得an1an1an，即an1(1)an.由a10，0得an0，所以.因此an是首项为，公比为的等比数列，于是ann1.(2)由(1)得Sn1n.由S5得15，即5.解得1.题型3等比数列前n项和及性质的应用角度1等比数列性质的综合应用(2015安徽高考)
11、已知数列an是递增的等比数列，a1a49，a2a38，则数列an的前n项和等于_方程组法答案2n1解析由已知得，a1a4a2a38，又a1a49，则或又数列an是递增的等比数列，a1a4，a11，a48，从而q38，即q2，则前n项和Sn2n1.角度2等比数列的前n项和各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若Sn2，S3n14，则S4n等于()A80 B30 C26 D16q1，Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列答案B解析由题意知公比大于0，由等比数列性质知Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n，仍为等比数列设S2nx，则2，x2,14x成等比数列由(x2)22(14x)，解
12、得x6或x4(舍去)Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n，是首项为2，公比为2的等比数列又S3n14，S4n1422330.故选B.角度3等差数列与等比数列的综合(2015湖南高考)设Sn为等比数列an的前n项和若a11，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an_.采用方程思想方法答案3n1解析设等比数列an的公比为q(q0)，依题意得a2a1qq，a3a1q2q2，S1a11，S21q，S31qq2.又3S1,2S2，S3成等差数列，所以4S23S1S3，即4(1q)31qq2，解得q3(q0舍去)所以ana1qn13n1.方法技巧1在解答等比数列的有关问题时，为简化解题过程常常利用等比数列项的如下性质：(1)通项公式的推广：anamqnm；(2)等比中项的推广与变形：aaman(mn2p)及akataman(ktmn)(m，n，p，k，tN*)见角度1典例2对已知条件为等比数列的前几项和，求其前多少项和的问题，应用公比不为1的等比数列前n项和的性质：Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列比较简便见角度2典例3等差数列和等比数列的综合问题，涉及的知识面很宽，题目的变化也很多，但是万变不离其宗，只要抓住基本量a1，d(q)充分运用方程、函数、转化等数
