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1、A、等差数列知识点及经典例题一、数列由an与Sn的关系求an由Sn求an时，要分n=1和n2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为anS (n 1)Sn Sni(n 2)R例1根据下列条件，确定数列an的通项公式。(1) Gi =12手(2)日 = 1 = C n+ 1) 1 j d0,3=屁；分析：(1)可用构造等比数列法求解；(2)可转化后利用累乘法求解；(3)将无理问题有理化，而后利用 an与Sn的关系求解。解答：(i).34+i + 1=3(+1) A知+ +14十1二班列.+ 11为笨比数4公比q=3,又0+1=2,二 Un +1 =
2、2 * 3金=2 1.小卜 I =(丸+ 1)& * *(2)J,各2,一累乘可得斯=小(丸1)义(界一2”X?X2*l=n!,故勾=电(3)由空;感养S尸的丝，6o当 42 时 鱼OO1 8ali =。，二% + 4 i0,二% 一A |4 = 0 ,即I =4,二数到斯为等差数列，且公差d=4.寸 q 2 时，a*2Sn Sn 1=。2n2n(n 1)【例】已知数列an的各项均为正数,a1 = 1.其前n项和Sn满足2Sn = 2pa2+anp(pG R),则an的通项公式为- a1 = 1, 1- 2a1 = 2pa2 + a1 p,即 2 = 2p+ 1 - p,得 p= 1.于是 2
3、Sn = 2an+ an 1.当 n 2 时，有 2sn1 = 2an- 1 + an-1 1,两式相减，得 2an = 2an 2an-1 + an an -1,整理，得 2(an + an -1) (anan 1 2)= 0.-1. n. 1 n+1又 an0,an- an-1 =2,于TE an是等差数列，故 an=1+(n 1)2=一厂.(二)等差数列的基本运算1、等差数列的通项公式an=a1+(n-1) d及前n项和公式Snna-肛na1nn-d,共涉及五22个量a1，an, d,n, 5, “知三求二”，体现了用 方程的思想 解决问题；2、数列的通项公式和前 n项和公式在解题中起到
4、变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。注：因为一-n a1 a1 (n 1),故数列 -n是等差数列。 n 222nBO已知数列xn的首项为=3,通项Xn 2np nq(n N ,p,q为常数)，且X1 , X4, X5成等差数列。求：(1) p, q 的值；(2)数列 Xn的前n项和Sn的公式。分析：（1）由X1=3与X1,X4,X5成等差数列列出方程组即可求出p,q；（2）通过Xn利用条件分成两个可求和的数列分别求和。解答：（1）由Xi=3得2 P q 3455_ 5又 X 2 P 4q,X5 2 p 5q,且Xi X5 2X4,得 3 2 p 5
5、q 2 p 8q由联立得p i,q 1。(2)由(1)得，Xn 2n ni1. S,=,门一 .丁 , 一 丁=2 - 22,-1 2 , 3 h】911 191 乙fa *(三)等差数列的性质1、等差数列的单调性：等差数列公差为d,若d0,则数列递增；若d 1),则该数列的通项 an =.由 an+1 = 2an+3,则有 an+1 + 3= 2(an+ 3),即 a1 + 3 =2.an + 3所以数列an+3是以al + 3为首项、公比为2的等比数列，即an+3= 4 21=2n+1,所以an = 2n+1-3.17、已知方程(x22x+m)(x2 2x+n) = 0的四个根组成一个首项
6、为 4的等差数列，则|mn|的值等于 .如图所示，易知抛物线 y=x22x+ m与y=x22x+n有相同的对称轴 x= 1,它们与x轴的四个交点依次为 A、B、C、D.一、,1 7因为 Xa=-,则 Xd = 7.44又|AB|=|BC|=|CD|,所以 XB=3, XC = 5.44故 |mn|=|1x7 3x5|=111 b 4 4 4| 28、在等差数列an中，a1=-3,11a5 = 5as- 13,则数列an的前n项和Sn的最小值为 设公差为 d,则 11(3+ 4d)=5(-3+7d)- 13,d = 59.n0,d0,且满足，前n项和Sn最大；an 10an 0(2)若a10,且
7、满足，前n项和Sn最小；an 10(3)除上面方法外，还可将 an的前n项和的最值问题看作 Sn关于n的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意 nN。R例1已知数列an是等差数列。(1)若 am n,an m(m n),求am n若 Sm n,Sn m(m n),求Smn解答：设首项为a1,公差为d ,(1)由 am n,an mam n am (mm)d1)0.(2)由已知可得Sm n (m n)qnaiman(n2m(m 1)d2，解得(m n)(m n 1)dai(m22n m mn m nmn2(m n)mnn)【例】已知数列an的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任
8、意的nCN*,满足关系式2Sn=3an-3.(1)求数列an的通项公式;(2)设数列 bn的通项公式是bn =lOg3an lOg3an + 1 前n项和为Tn,求证：对于任意的正整数 n,总有Tn2时，由2Sn=3an3得，2Sn 1 = 3an 1 - 3.两式相减得：2(Sn-Sn 1) = 3an-3an 1,即 2an=3an-3an 1an=3an-1,又a = 3w0, an是等比数列, 验证：当n=1时，a1 = 3也适合an=3n. an的通项公式为an= 3n .an= 3n.(2)证明bn =lOg38n log 3an+ 1log33n log33n 11(n+1)n n n+1T n= b1+ b2+ + bn= (1-11 1,11、2R(2-3)+-+(n-)1；1. n+ 11.设an为等差数列，S为an的前n项和,S=7sS5=75,已知Tn为数列的刖n项数，求Tn.2.已知数列an是等差数列，其前n项和为Sna363 12.1(1)求数列 an的通项公式；(2 )求一S1S21Sn112.解：设数列 an的公差为d,则&=na1 + 2 n(n 1) d.14.c r c ru7a1 + 21d=7- S= 7, S15= 75, ,15a1 + 105d=75= aI + 2 (n1) d=-2 + 2 (
