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1、 4 导数的四则运算法则主讲：陈晓林 时间：2012-2-23一、教学目标：1 .知识与技能掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式；熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的导数，能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。2 .过程与方法通过用定义法求函数 fX=x+x2的导数，观察结果，开掘两个函数的和、差求导方法，给 结合定义给出证明；由定义法求 f(x)=x 2g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函 数积、商的求导发则。3 .情感、态度与价值观培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验一一观察一一归纳一一抽象的数学思维方法。二、教学重点：函数和、差、积、商导数公式的
2、开掘与应用教学难点：导数四则运算法则的证明三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程一、复习：导函数的概念和导数公式表。1.导数的定义：设函数 y f(x)在x x0处附近有定义，如果x 0时，y与 x的比也叫函数的平均变化率有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做xx函数 y f (x)在 xx0 处的导数，记作 y/ x x0，即 f/(x0) lim (x0x)，0)x 0x2 .导数的几何意义：是曲线 y f(x)上点x0,f(x0)处的切线的斜率 因此，如果y f (x)在点/可导，则曲线y f(x)在点x0,f(x。)处的切线方程为y f(x0)f/(x)(x x).3
3、.导函数(导数):如果函数y f (x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x (a,b),都对应着一个确定的导数f/(x),从而构成了一个新的函数f/(x),称这个函数f/(x)为函数y f (x)在开区间内的导函数，简称导数,4.求函数yf(x)的导数的一般方法:1求函数的改变量 yf (xx)f(x) *2求平均变化率yf(x x) f(x)x3取极限，得导数y/ =f (x)5.常见函数的导数公式:C0; (xn) nxn二、探析新课两个函数和差的导数等于这两个函数导数的和差f(x) g(x) f (x) g (x)f(x)g(x)f (x) g (x)证明：令yf (
4、x) u(x) v(x),y u(xx)v(x x) u(x)v(x)u(xx)u(x) v(xx)v(x) uv,v .一 ，limx xlim0limx即 u(x) v(x) u(x) v例1:求以下函数的导数:1y x2 2x；2ln x ；32(x2 1)(x1)；4解:1 y (x2 2x)(x2)(2x)2x 2xln2。2y ( . x ln x)(.x)11(ln x)2，x x(x2 1)( x 1) (x31)(x3)(x2)(x)3x22x 1 o(4) y/2、，1、， 232(x ) (x ) (x ) 2x x 2x31.、一例2:求曲线y x 上点1, 0处的切线
5、方程。x313121斛：y x x 3x xxx将x 1代入导函数得即曲线y x3 1上点x1，3 14。1方程为1, 0处的切线斜率为4,从而其切线y 0 4(x 1),即 y 4x 4。设函数yf(x)在x0处的导数为f(x0),g(x) x2。我们来求y f(x)g(x)x2 f(x)x)f(x0)f (x0)limx(x022x) x02x0在x0处的导数。/、22/、y (x x) f(x0x) xf(x0)xx、222(xx) f(x0 x) f(x0)(x0x)x0 f(x0)知 y f (x)g(x)x f(x0x) f(x) (x0x)x0(x0x) f(x0)xx令 x 0
6、,由于 lim (x0x)2 x2x 0 f (x)在 x0 处的导数值为 x2f (x0) 2x0 f (x0) 0因此 y f (x)g(x)x2f(x)的导数为 x2 f (x) (x2)f(x)。般地，假设两个函数f (x)和g(x)的导数分别是f (x)和g (x),我们有f (x)g(x) f(x)g(x)g2(x)f(x)g(x) f (x)g(x) f(x)g(x)f(x) g(x)特别地，当g(x) k时，有kf(x) kf (x)例3:求以下函数的导数:1y2y Jxsinx；3y x In x。解：1y(x2ex)(x2) ex x2(ex)X 2 X2 x2xe x e
7、 (2x x )e ；2 y ( , xsin x) (. x) sin x . x(sin x)sin x2.xJx cosx ;3y(xln x) (x) In x x(ln x)11 ln x x In x 1。x例4:求以下函数的导数:sin x yx2yIn x解：1ysin xx(sin x) x sin x (x)cosx x sin x 1xcosx sin x2；x2yIn x(x2) ln x x2 (ln x)212x ln x x 一 xx(2 ln x 1)(ln x)2ln2 xln 2 x2 x2 x(三)、练习：课本P44练习：1、2.课本巳6练习1.四课堂小结
8、： 本课要求：1、了解两个函数的和、差、积、商的求导公式；2、会运用上述公式，求含有和、差、积、商综合运算的函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。f(x) g(x) f (x) g (x)f (x) g(x) f (x) g (x)f(x)g(x) f(x)g(x) f(x)g(x) 点f(x)g(x)2、(x)g(x)g(x)g (x)五、作业：课本P47习题2-4 : A组2、3 B 组2五、教后反思：本节课成功之点：（ 1） 从特殊函数出发， 利用已学过的导数定义来求f x =x+x2的导数，观察结果，开掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明（ 2） 由定义法求f（x）=x 2g（x） 的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则。（ 3） 通过上述的教学过程，让学生自己探索求法法则，总结出求导公式培养了学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验观察归纳抽象的数学思维方法。不足之处：学生做练习的时间太短， 对于公式还没有时间去练习运用，这样有可能导致学生对积、商的导数公式不是很熟练掌握。x22
