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1、平行线及其判定(提高)知识讲解【学习目标】1 .理解平行线的概念,会用作图工具画平行线,了解在同一平面内两条直线的位置关系;2 .掌握平行公理及其推论;3 .掌握平行线的判定方法,并能运用“平行线的判定方法”,判定两条直线是否平行.【要点梳理】要点一、平行线的定义及画法1 .定义:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,如果直线a与b平行,记作a/ b.要点诠释:(1)平行线的定义有三个特征:一是在同一个平面内;二是两条直线;三是不相交,三者缺一不可;(2)有时说两条射线平行或线段平行,实际是指它们所在的直线平行,两条线段不相交并不 意味着它们就平行.(3)在同一平面内,两条直线的位置关系只
2、有相交和平行两种.特别地,重合的直线视为一条直线,不属于上述任何一种位置关系.2 .平行线的画法:用直尺和三角板作平行线的步骤:落:用三角板的一条直角边与已知直线重合靠:用直尺紧靠三角板另一条直角边.推:沿着直尺平移三角板 ,使与已知直线重合的直角边通过已知点.画:沿着这条直角边画一条直线,所画直线与已知直线平行.要点二、平行公理及推论1 .平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.2 .推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.要点诠释:(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”,而非直线上的点,要区别于垂线的第一性质.(2)公理中“有”说明存在;“只有”
3、说明唯一.3 3) “平行公理的推论”也叫平行线的传递性.要点三、直线平行的判定判定方法1:同位角相等,两直线平行.如上图,几何语言:Z 3=7 2AB/ CD (同位角相等,两直线平行)判定方法2:内错角相等,两直线平行.如上图,几何语言:Z 1 = 7 2AB/ CD (内错角相等,两直线平行)判定方法3:同旁内角互补,两直线平行 .如上图,几何语言: Z4+Z 2= 180AB/ CD(同旁内角互补,两直线平行)要点诠释:平行线的判定是由角相等或互补,得出平行,即由数推形【典型例题】类型一、平行线的定义及表示 1 ,下列说法正确的是()A .不相交的两条线段是平行线 .B.不相交的两条直
4、线是平行线 .C.不相交的两条射线是平行线 .D.在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线【答案】D【解析】平行线定义中三个关键词语:“同一平面内”,“不相交”,“两条直线”.【总结升华】本例属于对概念的考查,应从平行线的概念入手进行判断.类型二、平行公理及推论眇 2.在同一平面内,下列说法:(1)过两点有且只有一条直线;(2)两条直线有且只有 一个公共点;(3)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;(4)过一点有且只有一条直线与已知直线平行。其中正确的个数为:()A. 1个 B. 2个C. 3个 D. 4个【答案】B【解析】 正确的是:(1) (3).【总结升华】对平面几何中概念的理解,一定
5、要紧扣概念中的关键词语,要做到对它们正确理解,对不同的几何语言的表达要注意区分不同表述之间的联系和区别.举一反三:【变式】(2015春?北京校级期中)下列命题中正确的有()相等的角是对顶角;若 a / b, b/ c,贝U a / c;同位角相等; 邻补角的平分线互相垂直.A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C类型三、两直线平行的判定 3. (2015?福州)下列图形中,由/ 1 = /2能得至ij AB /CD的是()1 = 72 (已知),.AB /CD (内错角相等,两直线平行),故选B【总结升华】 此题考查了平行线的判定,熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键.举一反三: 【变式】
6、一个学员在广场上驾驶汽车,两次拐弯后,行驶的方向与原来的方向相同,这两次拐弯的角度可能是()A.第一次向左拐B.第一次向右拐C.第一次向右拐D.第一次向左拐【答案】A30 ,第二次向右拐50 ,第二次向左拐50 ,第二次向右拐50 ,第二次向左拐30130130130提示:“方向相同”有两层含义,即路线平行且方向相同,在此基础上准确画出示意图.图B显然不同向,因为路线不平行.图C中,/ 1=180 -130 = 50 ,路线平行但不同向.图D中,/ 1 = 180 -130 = 50 ,路线平行但不同向.只有图A路线平行且同向,故应选 A. 4.如图所示,已知/ B = 25 , / BCD
7、= 45 , / CDE=30 , / E=10 .试说明 AB / EF的理由.A78E1F【思路点拨】利用辅助线把AB、EF联系起来.【答案与解析】解法1:如图所示,在/ BCD的内部作/ BCM =25 ,在/ CDE的内部作/ EDN = 10 .ZB = 25 , / E=10 (已知),ZB = Z BCM,/ E= / EDN (等量代换).AB/ CM, EF/ DN(内错角相等,两直线平行 ).又 Z BCD =45 , Z CDE =30 (已知),ZDCM =20 , Z CDN =20 (等式性质)./ DCM = / CDN (等量代换).CM / DN (内错角相等
8、,两直线平行 ). AB / CM , EF / DN (已证),AB/ EF(平行线的传递性).解法2:如图所示,分别向两方延长线段 CD交EF于M点、交AB于N点.ARM F/BCD = 45 ,/NCB = 135 . ZB = 25 ,/CNB = 180 -/NCB-/B = 20 (三角形的内角和等于 180 ).又 Z CDE =30 ,/EDM = 150 .又: / E=10 , ZEMD =180 -/EDM-/E=20 (三角形的内角和等于 180 )./ CNB = / EMD (等量代换).所以AB / EF(内错角相等,两直线平行).【总结升华】判定两条直线平行的方
9、法有四种,选择哪种方法要根据问题提供的条件来灵活选取.举一反三:【高清课堂:平行线及判定 403102经典例题2】AR【变式1】已知,如图,BE平分/ABD DE平分/CDB且/1与/2互余,试判断直线 CD的位置关系,请说明理由.解:AB / CD,理由如下: BE 平分/ ABD , DE 平分/ CDB , /ABD=2/ 1 , /CDB=2/ 2.又: / 1 + / 2=90 , ZABD+ / CDB =180 . AB / CD(同旁内角互补,两直线平行 ). 【高清课堂:平行线及判定 403102经典例题4】 【变式2】已知,如图, AB_BD于B, CDLBD于D, Z1+Z2=180 ,求证:CD/EF .证明: ABLBDT B, CD1BD于 D, .AB/ CD又. /1 + /2=180 ,.AB/ EF.CD/EF .