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1、精品文档 第一讲 函数、极限、连续1、基本初等函数的定义域、值域、图像,尤其是图像包含了函数的所有信息。2、函数的性质,奇偶性、有界性 奇函数:,图像关于原点对称。 偶函数:,图像关于y轴对称3、无穷小量、无穷大量、阶的比较 设是自变量同一变化过程中的两个无穷小量,则 (1)若,则是比高阶的无穷小量。(2)若(不为0),则与是同阶无穷小量 特别地,若,则与是等价无穷小量(3)若,则与是低阶无穷小量 记忆方法:看谁趋向于0的速度快,谁就趋向于0的本领高。4、两个重要极限 (1) 使用方法:拼凑 ,一定保证拼凑sin后面和分母保持一致 (2) 使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数,不
2、满足条件得拼凑。5、 的最高次幂是n,的最高次幂是m.,只比较最高次幂,谁的次幂高,谁的头大,趋向于无穷大的速度快。,以相同的比例趋向于无穷大;,分母以更快的速度趋向于无穷大;,分子以更快的速度趋向于无穷大。7、左右极限 左极限:右极限:注:此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。8、连续、间断 连续的定义: 或 间断:使得连续定义无法成立的三种情况 记忆方法:1、右边不存在 2、左边不存在 3、左右都存在,但不相等9、间断点类型 (1)、第二类间断点:、至少有一个不存在 (2)、第一类间断点:、都存在 注:在应用时,先判断是不是“第二类间断点”,左右只要有一个不存在,就是“第二类”然后再
3、判断是不是第一类间断点;左右相等是“可去”,左右不等是“跳跃”10、闭区间上连续函数的性质(1) 最值定理:如果在上连续,则在上必有最大值最小值。(2) 零点定理:如果在上连续,且,则在内至少存在一点,使得 第三讲 中值定理及导数的应用1、 罗尔定理如果函数满足:(1)在闭区间上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;(3),则在(a,b)内至少存在一点,使得b记忆方法:脑海里记着一幅图:2、 拉格朗日定理如果满足(1)在闭区间上连续 (2)在开区间(a,b)内可导; 则在(a,b)内至少存在一点,使得脑海里记着一幅图: (*)推论1 :如果函数在闭区间上连续,在开区间(a,b)内可导,且,那么
4、在内=C恒为常数。 记忆方法:只有常量函数在每一点的切线斜率都为0。(*)推论2:如果在上连续,在开区间内可导,且,那么 记忆方法:两条曲线在每一点切线斜率都相等3、 驻点 满足的点,称为函数的驻点。几何意义:切线斜率为0的点,过此点切线为水平线4、极值的概念设在点的某邻域内有定义,如果对于该邻域内的任一点x,有,则称为函数的极大值,称为极大值点。设在点的某邻域内有定义,如果对于该邻域内的任一点x,有,则称为函数的极小值,称为极小值点。记忆方法:在图像上,波峰的顶点为极大值,波谷的谷底为极小值。5、 拐点的概念连续曲线上,凸的曲线弧与凹的曲线弧的分界点,称为曲线的拐点。注在原点即是拐点6、 单
5、调性的判定定理设在内可导,如果,则在内单调增加;如果,则在内单调减少。 记忆方法:在图像上凡是和右手向上趋势吻合的,是单调增加,;在图像上凡是和左手向上趋势吻合的,是单调减少,;7、 取得极值的必要条件可导函数在点处取得极值的必要条件是8、 取得极值的充分条件第一充分条件:设在点的某空心邻域内可导,且在处连续,则(1) 如果时,; ,那么在处取得极大值;(2) 如果时,;,那么在处取得极小值;(3) 如果在点的两侧,同号,那么在处没有取得极值; 记忆方法:在脑海里只需记三副图,波峰的顶点为极大值,波谷的谷底为极小值。第二充分条件:设函数在点的某邻域内具有一阶、二阶导数,且,则 (1)如果,那么
6、在处取得极大值; (2)如果,那么在处取得极小值9、 凹凸性的判定设函数在内具有二阶导数,(1)如果,那么曲线在内凹的;(2)如果,那么在内凸的。图像表现:凹的表现 凸的表现10、 渐近线的概念曲线在伸向无穷远处时,能够逐步逼近的直线,称为曲线的渐近线。(1) 水平渐近线:若,则有水平渐近线 (2) 垂直渐近线:若存在点,则有垂直渐近线 (2) 求斜渐近线:若,则为其斜渐近线。11、 罗比达法则遇到“” 、“”,就分子分母分别求导,直至求出极限。如果遇到幂指函数,需用把函数变成“” 、“”。第二讲 导数与微分 1、 导数的定义(1)、(2)、(3)、注:使用时务必保证后面和分母保持一致,不一致
7、就拼凑。2、 导数几何意义:在处切线斜率法线表示垂直于切线,法线斜率与乘积为13、 导数的公式,记忆的时候不仅要从左到右记忆,还要从右到左记忆。4、 求导方法总结(1)、导数的四则运算法则(2)、复合函数求导: 是由与复合而成,则 (3)、隐函数求导 对于,遇到y,把y当成中间变量u,然后利用复合函数求导方法。(4)、参数方程求导 设确定一可导函数,则 (5) 、对数求导法 先对等号两边取对数,再对等号两边分别求导(6)、幂指函数求导 幂指函数,利用公式 然后利用复合函数求导方法对指数单独求导即可。 第二种方法可使用对数求导法,先对等号两边取对数,再对等号两边分别求导注:优选选择第二种方法。5
8、、 高阶导数对函数多次求导,直至求出。6、 微分 记忆方法:微分公式本质上就是求导公式,后面加,不需要单独记忆。7、 可微、可导、连续之间的关系可微可导可导连续,但连续不一定可导8、 可导与连续的区别。脑海里记忆两幅图(1) (2)在x=0既连续又可导。 在x=0只连续但不可导。所以可导比连续的要求更高。 第四讲 不定积分一、 原函数与不定积分1、 原函数:若,则为的一个原函数;2、 不定积分:的所有原函数+C叫做的不定积分,记作二、 不定积分公式记忆方法:求导公式反着记就是不定积分公式三、不定积分的重要性质1、2、注:求导与求不定积分互为逆运算。四、 积分方法1、 基本积分公式2、 第一换元
9、积分法(凑微分法)把求导公式反着看就是凑微分的方法,所以不需要单独记忆。3、 第二换元积分法三角代换三角代换主要使用两个三角公式:4、 分部积分法 第五讲 定积分1、定积分定义 如果在上连续,则在上一定可积。理解:既然在闭区间上连续,那么在闭区间上形成的就是一个封闭的曲边梯形,面积存在所以一定可积,因为面积是常数,所以定积分如果可积也是常数。2、定积分的几何意义(1) 如果在上连续,且,则表示由,x轴所围成的曲边梯形的面积。S=。(2) 如果在上连续,且, S=。3、定积分的性质: (1) (2)=(3)(4)(5)如果,则(6)设m,M分别是在的min, max,则 M m 记忆:小长方形面
10、积曲边梯形面积大长方形面积(7)积分中值定理 如果在上连续,则至少存在一点,使得 记忆:总可以找到一个适当的位置,把凸出来的部分切下,剁成粉末,填平在凹下去的部分使曲边梯形变成一个长方形。 称为在上的平均值。4、 积分的计算(1)、变上限的定积分注:由此可看出来是的一个原函数。而且变上限的定积分的自变量只有一个是而不是t(2)、牛顿莱布尼兹公式 设在上连续,是的一个原函数,则 由牛顿公式可以看出,求定积分,本质上就是求不定积分,只不过又多出一步代入积分上下限,所以求定积分也有四种方法。5、 奇函数、偶函数在对称区间上的定积分(1)、若在上为奇函数,则 (2)、若在上为偶函数,则注:此方法只适用
11、于对称区间上的定积分。6、 广义积分(1) 无穷积分 7、 定积分关于面积计算 面积,记忆:面积等于上函数减去下函数在边界上的定积分。 d c 面积S= 记忆方法:把头向右旋转90就是第一副图。8、 旋转体体积(1) y a b x曲线绕 轴旋转一周所得旋转体体积 : (2)、 a b 阴影部分绕绕 轴旋转一周所得旋转体体积: (3)、 y d c x绕轴旋转一周所得旋转体体积 : (4)、 y d c x 阴影部分绕绕轴旋转一周所得旋转体体积: 第六讲 向量、空间解析几何(一)向量的相关考试内容一、 向量的基本概念1、 定义:与起点无关,既有方向又有大小的量称为向量。(生活来源:力、速度、加速度,位移)2、 向量的表示:或记为,其中为向量在 轴,轴,轴上的投影。其中,为向量在轴,轴,轴上的单位向量 3、 向量的模:,模为1的向量叫做单位向量,模为0的向量叫做0向量。4、 向量的方向余弦: 并且:为向量与轴,轴,轴的正方向