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1、南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)参考公式:样本数据x1，x2，xn的方差，其中锥体的体积公式：，其中是锥体的底面积,是锥体的高. 圆锥的侧面积公式：，其中是圆锥的底面半径，为母线长一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分。不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置。1设集合，集合，若，则 .2若复数（其中为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数 .3在一次射箭比赛中，某运动员次射箭的环数依次是，则该组数据的方差是 .4甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为，甲、乙下和棋的概率为，则乙获胜的概率为 .5若双曲线的右焦点与抛
2、物线的焦点重合，则 .i1S0While i8 ii + 3 S2i + SEnd WhilePrint SEND第6题图6运行如图所示的程序后，输出的结果为 .7若变量满足，则的最大值为 .8若一个圆锥的底面半径为，侧面积是底面积的倍，则该圆锥的体积为 .9若函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点成中心对称，则 .10若实数满足，且，则的最小值为 .11设向量，则“”是“”成立的 条件 (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) .12在平面直角坐标系中，设直线与圆交于两点，为坐标原点，若圆上一点满足，则 .13已知是定义在上的奇函数，当时，函
3、数. 如果对于，使得，则实数的取值范围是 .14已知数列满足，若数列单调递减，数列单调递增，则数列的通项公式为 .二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，并把答案写在答题纸的指定区域内）15在平面直角坐标系中，设锐角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点. 记.xyPQO第15题图（1）求函数的值域；（2）设的角所对的边分别为，若，且，求.BACDB1A1C1D1E第16题图O16(本小题满分14分)如图，在正方体中，分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面.17在平面直角坐标系
4、中，椭圆的右准线方程为，右顶点为，上顶点为，右焦点为，斜率为的直线经过点，且点到直线的距离为.（1）求椭圆的标准方程；FPOxAlyB第17题图（2）将直线绕点旋转，它与椭圆相交于另一点，当三点共线时，试确定直线的斜率.第18题-甲xyOABCD第18题-乙EF18某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲线是以点为圆心的圆的一部分，其中（，单位：米）；曲线是抛物线的一部分；，且恰好等于圆的半径. 假定拟建体育馆的高米.（1）若要求米，米，求与的值；（2）若要求体育馆侧面的最大宽度不超过米，求的取值范围；（3）若，求的最大值.（参考公式：若，则）19设数列是各项均
5、为正数的等比数列，其前项和为，若，.（1）求数列的通项公式；（2）对于正整数（），求证：“且”是“这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；（3）设数列满足：对任意的正整数，都有，且集合中有且仅有3个元素，试求的取值范围.20已知函数，.（1）设. 若函数在处的切线过点，求的值； 当时，若函数在上没有零点，求的取值范围；（2）设函数，且，求证：当时，.南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1. 1 2 1 3 4 5 6 42 7 88 9 10 4 11要不充分 12 13. 14. （ 说明：本答案也可以写成1
6、2解读：方法1：（平面向量数量积入手），即：，整理化简得：，过点作的垂线交于，则，得，又圆心到直线的距离为，所以，所以，.方法2：（平面向量坐标化入手）设，,由得，则由题意得，联立直线与圆的方程，由韦达定理可解得：.方法3：（平面向量共线定理入手）由得，设与交于点，则三点共线。由与互补结合余弦定理可求得，过点作的垂线交于，根据圆心到直线的距离为，得，解得，.13解读：初稿是：已知是定义在上的奇函数，且当时，函数，且对，使得，则实数的取值范围是 . 答案：14答案：（ 说明：本答案也可以写成）解读：这种模型2011年的北京卷用过，2014年的湖南卷上又用了。方法一：先采用列举法得，然后从数字的变
7、化上找规律，得，再利用累加法即可；方法二：因为，所以两式相加，得，而递减，所以，故；同理，由递增，得；又，所以，以下同上。初稿是：已知数列满足，若数列单调递减，数列单调递增，则数列的通项公式为 .答案：二、解答题：15解：（1）由题意，得， 4分所以， 6分因为，所以，故. 8分（2）因为，又，所以， 10分在中，由余弦定理得，即，解得. 14分BACDB1A1C1D1E第16题图O16证明（1）：连接，设，连接， 2分因为O，F分别是与的中点，所以，且，BACDB1A1C1D1EFO又E为AB中点，所以，且，从而，即四边形OEBF是平行四边形，所以， 6分又面，面，所以面. 8分（2）因为面
8、，面，BACDB1A1C1D1E第16题图所以， 10分又，且面，所以面，12分而，所以面，又面，所以面面. 14分FPOxAlyB第17题图17解：（1）由题意知，直线的方程为，即， 2分右焦点到直线的距离为， 4分又椭圆的右准线为，即，所以，将此代入上式解得，椭圆的方程为； 6分（2）由（1）知， 直线的方程为， 8分联立方程组，解得或（舍），即， 12分直线的斜率. 14分其他方法：方法二: 由（1）知， 直线的方程为，由题，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组，解得，代入椭圆解得：或，又由题意知，得或，所以.方法三：由题，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组，得，所
9、以,，当三点共线时有，即，解得或，又由题意知，得或，所以.18解：（1）因为，解得. 2分 此时圆，令，得， 所以，将点代入中，解得. 4分（2）因为圆的半径为，所以，在中令，得，则由题意知对恒成立， 8分所以恒成立，而当，即时，取最小值10，故，解得. 10分（3）当时，又圆的方程为，令，得，所以，从而， 12分又因为，令，得， 14分当时，单调递增；当时，单调递减，从而当 时，取最大值为25.答：当米时，的最大值为25米. 16分（说明：本题还可以运用三角换元，或线性规划等方法解决，类似给分）解读：此题取材于射阳中学新建体育馆的模型，是一道原创题，初稿中只有（2）（3）两小题，讨论中有老师
10、认为此题的起点偏高，还要给中等偏下的学生送点分，所以又设计了第（1）小题。（3）方法二：令，则，其中是锐角，且，从而当时，取得最大值为25米. 方法三：令，则题意相当于：已知，求的最大值.根据线性规划知识，当直线与圆弧相切时，取得最大值为25米.19 解：（1）数列是各项均为正数的等比数列，又，； 4分（2）（）必要性：设这三项经适当排序后能构成等差数列，若，则， . 6分若，则，左边为偶数，等式不成立，若，同理也不成立，综合，得，所以必要性成立. 8分（）充分性：设，则这三项为，即，调整顺序后易知成等差数列，所以充分性也成立.综合（）（），原命题成立. 10分（3）因为，即，（*）当时，（*）则（*）式两边同乘以2，得，（*）（*）（*），得，即，又当时，即，适合，.14分，时，即；时，此时单调递减，又，. 16分20解：（1）由题意，得，所以函数在处的切线斜率， 2分又，所以函数在处的切线方程，将点代入，得. 4分（2）方法一：当，可得，因为，所以，当时，函数在上单调递增，而，所以只需，解得，从而.
