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1、空间分析中的微积分建模方法和应用第25卷第2期2005年6月测绘科学与工程GeomaticScienceandEngineeringVo1.25.NO.2Jun.2005空间分析中的微积分建模方法和应用陈广学刘爱龙张德杨学伟【摘要】地理信息系统中的空间分析功能是靠建立大量的分析模型来实现的,数学建模方法在其中占有重要地位.本文举例介绍了微积分在空间分析与建模中的应用,包括最优化分析,城市人口推算及个体群的成长和衰退规律等,这些方法和模型对利用GIS技术解决同类问题时可起到一定的参考作用.【关键词】空间分析;数学建模;微积分;个体群模型【分类号1P228TheMethodandApplicati
2、onofCalculousModelinginSpatialAnalysisChenGuangxueLiuAilongZhangDeYangXueweiAbstractTherealizationofspatialanalysisinGISreliesontheestablishmentofconsiderablenumbersofanalysismodels.Themathematicalmodelingplaysanimportantroleinthemodelingmethods.Thispaperintroducestheapplicationsofcalculusinspatiala
3、nalysisandmodeling,includingoptimizationanalysis,citypopulationcalculation,thelawofpopulationboomanddeclineandsoon.ThesemethodsandmodelscanbeusedforreferencewhensolvingsimilarproblemsbyGIStechniques.Keywordsspatialanalysis;mathematicalmodeling;calculus;populationmodel1前言2最优化分析微分在空问分析地理空间信息学的研究对象是由点,
4、线,面这类几何形状构成的地理要素(或现象),并通过这些几何形状及相关的属性数据分析现象间的空间关.地理信息系统(GIS)的发展和应用,为解决与地理空间信息相关的社会和经济问题提供了强有力的手段.地理信息系统的突出优势在于它具有很强的空间数据分析和处理功能,但这些分析功能的实现,是建立在大量的分析模型基础之上.其中,数学建模经常应用的建模方法,有概率论,图论,微积分,线性代数,小波理论等数学方法.本文通过一些具体事例介绍了微积分在空间信息分析建模中的应用,对利用GIS技术解决相关问题可以起到一定的参考作用.西安测绘研究所研究员中的应用微分在空间数据分析中最重要的应用,是求函数的最大和最小值,即所
5、谓的最优化分析.这里有企业效益的最大化和费用的最小化问题,也有决策者寻求适于自己的最佳值的问题l3.下面,以经济地理学中经常遇到的最优化问题为例进行讨论.我们考察一个能够用长度l表示的线性市场(1inearmarket).假定购买力均匀分布,且不同地区的生产费用相同,分析这个企业的生产效益.通常认为消费者的需求量随着远离企业而降低,所以在离企业距离为r的地点,消费者的需求量q可以用下面的需求曲线表示:第2期陈广学,刘爱龙,张德,杨学伟:空间分析中的微积分建模方法和应用5qnb(p+tr)(2.1)3其中,P是每件制品的工厂价格,t是一个往返的运输费,n和b是正的常数.那么,在市场半径为R的范围
6、内企业的产出量Q可用如下方程求得:rRQ一2lnb(p+tr)drJ02(一RbtR/B)(2.2)这里,问题的关键在于如何确定对企业来说效益最大的价格,并进而求出欲得到最大效益所需的生产量.我们可以先用如下的效益方程分析一下企业的效益y:YQ(Pf)一F(2.3)其中,C为基本费用(制造一个单位制品需要的费用),F为固定费用.将(2.2)式代入(2.3)式,可得(2.4)式.这样,效益可用市场半径R的函数来表示:Y一2(一RbtR/2)(Pf)一F(2.4)将上式对R进行偏微分,为达到效益最大化,则3Y/OR一2(nbpbtR)(Pf)一0由此得到效益最大化的市场半径为:R一(nbp)/bt
7、(2.5)在效益函数中对工厂价格P进行偏微分,求效益最大化的价格,则有:oY/op一2aR一4bpRbtR2bcR一0将(2.5)式代入上式,对P进行整理,得效益最大化的价格P*为:P一a/3b+2c/3(2.6)要得到这样的价格,企业的产出量可将(2.5)和(2.6)式代入(2.2)式经整理后求出:Q一(nbp)/bt(2.7)那么,这种情况下的总收益TR可由(2.8)求得.(Mulligan,1984):TRPQ(2.8)面积求解与城市人口推算积分的应用在地理信息分析中,积分多用于求某一函数表达式的面积.特别是在经济地理和城市模型论中,通常认为以城市为中心的商业圈和都市圈呈现圆形,当求其面
8、积时常常应用积分方法.这里,作为积分应用的例子,介绍一个圆形城市中总人口的推算法.如图1所示,我们考察一个以市中心为圆心,半径为R的圆形城市.在这个城市中,位于距市中心距离为r的地方人口密度可以用(3.1)式所示的负指数函数来表示:d(r)一de(3.1)图1圆形城市其中,d.代表市中心的人口密度,n表示随着离开市中心的距离的增加人口密度降低的系数.于是,我们便可以求出在该城市中,内径为r,外径为r包围出的环形区内的人口P(r,rz).对于内径r,假设外径为r+,则由r和r+包围出的微小环形的面积,近似地可用2给出.并且,由于距离为r的地点人口密度为d(r),则该环形区域内的人口为:P(r,r
9、+)一2a-rr?d(r)(3.2)由于非常微小,r和r间的环形人口可用定积分(3.3)式表示.6陈广学,刘爱龙,张德,杨学伟:空间分析中的微积分建模方法和应用第2期P(r1,r2)一l2丌r?d(r)drJr14微分方程和个体群模型的应用在生态学中,通常将人类或者细菌等这类同种生物组成的团体称为个体群(population),并用微分方程表现其成长和衰退的规律.现在,个体群模型在地理学开始得到应用.下面以两个地理学中常用的个体群模型为例,介绍微分方程的应用方法.4.1指数函数模型我们用函数(f)表示t时刻的个体数(个体群成员的总数)比如人口数,t的一个单位内个体数增加率用Y()/y(t)表示
10、,并假定该增加率仅依赖于同时间点的个体数.则可考察/yF(),或者Y一F(y)y(4.1)的情况.其中,F()表示与Y相关的函数,这一函数可用如下的幂级数展开:F()一r+r1Y+2Y+(4.2)那么,最简单的情况是F()一r,即Y一ry(4.3)其中,r为比例常数.若设出生率为b,死亡率为d,则,可写成r=:bd.因此,r>0说明出生率大于死亡率.r<0则相反.(4.3)式在人口学中被称为马尔萨斯人口法则.下面,我们具体解算(4.3)式.这个方程的右边是t的函数(这里为1)和Y的函数之积形成的变量分离型.我们将含有Y的项移到左边,对两边进行积分,则有专d=上式又可表示为lnyf1
11、+那么,Ye=ee.若设c=e,可得现在,作为初始条件,我们设t一0时初始值为a.,则满足(0)一n.时,ca.,求出的解为Ya0e(4.4)(4.4)式的解因r的不同而有很大差异.r一0时,个体数不变化;r>0时,个体数按指数函数增加;r<0时,个体数的增加衰减为0.4.2罗杰斯特曲线(1ogisticcurve)模型根据方程(4.4)式,r>0时个体数将随时间无限增加,这显然是不正常的,比较现实的情况应该是会接近于某个有限的值.即出生率b和死亡率d并非总是保持不变的,可以认为个体数增加时b将降低,d将上升,b和d都为个体数Y的函数.现在假定随个体数的增加,出生率直线减少,
12、于是b可表示为:bbokby(4.5)其中,b.为个体数非常小时b所趋近的值,走为出生率的减少斜率,它们都是正的常数.另外,我们再假定死亡率随个体数的增加而直线增加,如(4.6)式所示:dd+kjy(4.6)其中,d.为个体数非常小时d所趋近的值,走为死亡率的增加斜率,它们也都是正的常数.我们再设定两个常数a和K分别为:n=走+走K一鲁c4.7则r一(6一)可根据(4.5),(4.6)和(4.7)式表示为:r=a(K)(4.8)这样,一个改良的个体群力学模型便可表示为:Y=&(Ky)y,(0)=no>0(4.9)这相当于将(4.2)式的一部分F()一r+rY代入(4.1)式得到的
13、结果,即Y一(r+rY)Y.这一模型称为罗杰斯特方程,除用于空间分析之外,在第2期陈广学,刘爱龙,张德,杨学伟:空间分析中的微积分建模方法和应用7社会学和心理学中也被广泛应用.从罗杰斯特方程可以看出,(4.9)式等于0时(即出生率等于死亡率时),处于平衡状态,个体数维持稳定的数量.由于这时即是.yK的情况,所以K被称为环境容纳力,意味着个体数的上限.K>.y时个体数增加,K<.y时个体数减少.下面我们求(4.9)式的微分方程的一般解.该罗杰斯特方程含有.y.项,是二次非线性方程的一种.同时,它又是37的函数和.y的函数之积,也可以当作变量分离型的特殊情况来考虑.因此,可在方程两边都
14、除以(K)y,然后再对其进行积分.推导过程为:d.y一口dfK(一.y)y因为一c南一对其解算,则有一cJ南J=njdf一1n(K一.y)一In(Y)一+qlnf孚f=一Kat+f.因此二一ceKat.y对该方程求.y的解,可得K.yT将t一0时的初始值n.考虑进去的话,由于有fK/.一1,所以可以得到罗杰斯特方程的特解为:T干面(4.1O)一丁F.图2显示了n>0,K>0时(4.10)式的解的情况.K/2<00<图2罗杰斯特曲线当取初始值口.为0<<K/2时,在K/2处有一个转折点,表示趋近于yK时的罗杰斯特曲线.当K/2<n.<K时,曲线以上升趋势接近于yK;当.>K时,曲线以下降趋势接近于yK.该罗杰斯特曲线作为具有上限K的成长曲线,可在许多领域得到应用.5结束语利用微积分原理进行数学建模,可以解决空间分析中的许多问题,如最优化分析问题(包括边界值求解和寻求企业效益最大化等),面积量算与城市人口推算问题以及个体群的成长和衰退规律等问题.本文介绍的方法和模型,是针对空间分析建模中常见的典型问题,实际应用中根据研究对象的特点不同,需要建立与之相适应的数学模型.参考文献1高阪宏行.计量地理学方法榆的诸同题空同,夕一/力
