习题1 解答1 •写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线1 x a cost, y bsi nt2 x 3sin t, y 4sin t,z 3cost解： 1 r acosti bsintj ,其图形是xOy平面上之椭圆2 r 3sin ti 4sin tj 3cos tk ，其图形是平面4x 3y 0与圆柱面2 2 2x z 3之交线，为一椭圆求动圆上一定点M2.设有定圆0与动圆c，半径均为a，动圆在定圆外相切而滚动, 所描曲线的矢量方程/|& | i4uuuu解：设M点的矢径为OM rxi yj , AOC与x轴的夹角为uuuu UULT ；因 OM OCuuuuCM有r xi yj 2 a cosi 2a s inj a cos 2asin 2则 x 2a cosacos2,y 2a sinasin 2 .故r (2acosa cos 2)i (2asinasin 2 ) j4•求曲线x t, y2,z2t3的一个切向单位矢量解：曲线的矢量方程为ti tdr则其切向矢量为&2tj模为讣「厂4厂4t4o2t2k2t/|& | i4/|& | i46.求曲线 x a si n2t, y2tj 2t2k1 2t2dr于是切向单位矢量为 ■—dtasin 2t, z a cost,在t 处的一个切向矢量。
解：曲线矢量方程为 r asin2ti asin2tj acostk/|& | i4切向矢量为在t —处4drasin2ti 2acos2j asintk dtai a£2##7.求曲线Xt1 21, y 4t 3, z 2t2 6t在对应于t2的点M处的切线方程和#法平面方程解：由题意得M (5,5, 4),曲线矢量方程为r(t21)i(4t 3)j(2t26t)k,在t 2的点M处，切向矢量drdt[2tit 24j(4t6)k]4i 4j2k##x 5于是切线方程为 —4于是法平面方程为 2(x5) 2( y 5)(z 4)0,即2x 2y16 0##解：曲线切向矢量为dr .i dt2tj 3tAx By Cz Dk , ⑴平面的法矢量为n i2j k，由题知n i2tj 3t2ki2jk 1 4t 3t2 0得t 1,1将此依次代入⑴式,得31 . 1 . 1 ,11 1i jk, |1i j k't33 9 27故所求点为1,1 1丄11'3927习题2解答3t k上的这样的点,使该点的切线平行于平面1 •说出下列数量场所在的空间区域，并求出其等值面求曲线r ti t2jx 2y#解：1场所在的空间区域是除 Ax ByCz D 0外的空间。
等值面为1 C1 或 Ax By CzAx By Cz D1Ci0（ C1 0为任意常数）,这是与平##面Ax By Cz D 0平行的空间2场所在的空间区域是除原点以外的z2x2y2的点所组成的空间部分0),等值面为 z 2即z x y ,是除去原点的旋转抛物面3.已知数量场u xy，求场中与直线 x 2 y 4 0相切的等值线方程解：设切点为 x0, y0 ，等值面方程为xy c x0y0，因相切，则斜率为k 如 1，即 X 2y0 X 2点x0,y0在所给直线上，有x° 2y° 4 0解之得y0 1,x0 2故xy 22 2 24.求矢量A xy i x yj zy k的矢量线方程 (x2 y2 )sin2c, (x2当sinc 0时，是顶点在坐标原点的一族圆锥面（除顶点外） ；当sin c 0时，是除原点外的 xOy平面2 22•求数量场u -一L经过点M 1,1,2的等值面方程z解：经过点 M 1,1,2等值面方程为1212#矢量线满足的微分方程为drdx2或xydy2x ydz~2zy有xdx,dx dz ydy,-x z解之得2y C1,(C1,C2为任意常数)C2x5.求矢量场A x2i y2j(x y)zk通过点M (2,1,1)的矢量线方程。
解矢量线满足的微分方程为dx~2xdy~2ydz(xy)zdy2y得丄x按等比定理有d(x~2_xy)2ydz(x y)zy)C 2z.故矢量线方程为故所求矢量线方程为i .求数量场数解:cos4,cos5在点M (2,0,x2z：2xiC1,又 M (2,1,1)求得 Ci-,C2212.习题3解答2y2z 在点2 . xy j3z4k0, cos1)处有-x2,0,4ii处沿l2xi2 ■ xy j3z4k的方向导3k ,其方向余弦为2xz34yz 0,』3x2z2z2y2 12,4?( 4) 0?0 - ?125 54#2 •求数量场u 3x2z xy z2在点M 1, 1,1处沿曲线x t, y t2,z t3朝t增大一方的方向导数解：所求方向导数，等于函数u在该点处沿曲线上同一方向的切线方向导数 曲线上点M所对应的参数为t1,从而在点M处沿所取方向，曲线的切向方向导数为dxdt1,dy2t3t2 3，t 1其方向余弦为cos■14,C0S##3.求数量场ux2yz3 在点 M 2,1,1处沿哪个方向的方向导数最大?又丄 x(6xzMy)M7,上 yMxM1,上zM(3x2 2几5。
于是所求方向导数为u(Muuucos )71(八 2 厂324丨cos xcos yzMyR41)尽5V14品##解： 因〒 grad u 丨° grad u cos ,当 0时，方向导数最大 z u. u • ugrad u m (一 i 一 j 一 k)x y z m3 2 3 2 2(2xyz I xzj 3xyzk)M 4i 4j 12k,即函数u沿梯度grad u M 4i 4j 12k方向的方向导数最大一 1 24.画出平面场u (X2最大值为grad u M J176 4J石MN2,、2)与点y2)中u 0,^,1,-,2的等值线，并画出场在2 2M 2(3, .7)处的梯度矢量，看其是否符合下面事实：(1 )梯度在等值线较密处的模较大，在较稀处的模较小；(2)在每一点处，梯度垂直于该点的等值线，并指向 u增大的方向2 2x y解：所述等值线的方程为： X2 y22 2x yc 2 2 ,0, x y 1,2,x2 y2 3,其中第一个又可以写为4,##x y 0, x y 0为二直线，其余的都是以（如下图，图中 Gi graduM「g2 graduM2,）由于 grad u xi yj,故grad Umi 2i 运j,grad u m2 3i V7j,由图可见，其图形都符合所论之事实。
Ox轴为实轴的等轴双曲线5•用以下二法求数量场u xy yz zx在点P 1,2,3处沿其矢径方向的方向导数1 直接应用方向导数公式；2 作为梯度在该方向上的投影123.又cos,cos昴,边uz)pu1u—(y5,—(xz)P4 —xPyPz解：1点P的矢径r i 2j 3k,其模|r| 、；14.其方向余弦为(x y) P 3u(-ucosu cosu cos ,所以lPxyzP1,232254岛3岛2 grad up ( Uiuu jk)5i4j 3k,xyzPP#grad u P ?r022 14 . 146，求数量场u x22y2 3z2xy3x2y6z在点 0(0,0,0)与点 A(1,1,1)处梯度的大小和方向余弦又问在哪些点上梯度为0?解：grad u (2x y 3) i (4y x2)j (6z6)k,##grad u O 3i 2 j 6k,grad u A 6i 3j 0k,其模依次为：32一(一2)2—(一6)2 7, ..62 32 02 3•一 5于是grad u O的方向余弦为 cos3 ,cos72 6,cos7 7grad u A的方向余弦为 cos—,cos .5—,cos 0.求使grad u 0之点，即求坐标满足2x y 3 0,4y x 2 0,之点，由此解得6z 6 0x 2, y 1, z 1故所求之点为(2,1,1).7.通过梯度求曲面 x2 y 2xz4上一点M(1, 2,3)处的法线方程。
解：所给曲面可视为数量场 u x2y 2xz的一张等值面，因此，场 u在点M处的梯度，就是曲面在该点的法矢量，即grad u M (2xy 2z)i x2j 2xk 2i j 2k,M M故所求的法。