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1、名校精品资料数学课时强化训练(五)一、选择题1(2013哈尔滨联考)已知a为实数，函数f(x)x3ax2(a2)x的导函数f(x)是偶函数，则曲线yf(x)在原点处的切线方程为()Ay3xBy2xCy3x Dy2x解析：f(x)x3ax2(a2)x，f(x)3x22axa2，f(x)为偶函数，a0，f(x)3x22，f(0)2，曲线yf(x)在原点处的切线方程为y2x.答案：B2(2013湖北卷)已知函数f(x)x(lnxax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A(，0) B. C(0,1) D(0，)解析：由已知得：f(x)lnxaxxlnx2ax1，由f(x)0得：lnx2ax1，有两
2、个极值即ylnx的图象和y2ax1的图象有两个交点如下图：如果两图象恰有一个交点，对y2ax1来说，恒过定点(0，1)，即过(0，1)求ylnx的一条切线，(0，1)不可能为切点，设切点为(x0，lnx0)则k切y|，则切线方程：ylnx0(xx0)将(0，1)代入得1lnx0(0x0)lnx00，x01.此时k切12a，a.由图知：0a，两图象可能有两交点答案：B3(2013浙江卷)已知函数yf(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数yf(x)的图象如图所示，则该函数的图象是() A. B. C. D.解析：由yf(x)的图象可知f(x)在(1,1)上为递增函数且先慢后快再慢，只有B符合答
3、案：B4(2013大同调研)设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时，f(x)g(x)f(x)g(x)0，且g(3)0，则不等式f(x)g(x)0的解集是()A(3,0)(3，)B(3,0)(0,3)C(，3)(3，)D(，3)(0,3)解析：记h(x)f(x)g(x)依题意得，h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，即h(x)h(x)，所以函数h(x)是奇函数当x0时，h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)0，h(x)是增函数，又h(3)f(3)g(3)0，因此，不等式h(x)0的解集是(，3)(0,3)，即不等式f(x)g(x)0的解集是(，3)(0,3)，选D.
4、答案：D5(2013长春调研)已知函数f(x)x3ax2bxc在x1处取得极大值，在x2处取得极小值，满足x1(1,1)，x2(2,4)，则a2b的取值范围是 ()A(11，3) B(6，4)C(16，8) D(11,3)解析：依题意得，f(x)x2axb，x1，x2是方程f(x)0的两个根，于是有在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域，阴影部分表示的四边形的四个顶点的坐标分别为(3，4)，(1，2)，(3,2)，(5,4)，验证得：当a5，b4时，a2b取得最大值3；当a3，b4时，a2b取得最小值11.于是a2b的取值范围是(11,3)，故选D.答案：D6(2013山西诊断)已知定义在R
5、上的函数f(x)满足f(1)1，且f(x)的导数f(x)在R上恒有f(x)，则不等式f(x2)的解集为()A(1，) B(，1)C(1,1) D(，1)(1，)解析：记g(x)f(x)x，则有g(x)f(x)0，g(x)是R上的减函数，且g(1)f(1)10.不等式f(x2)，即f(x2)0，g(x2)0g(1)，由g(x)是R上的减函数得x21，解得x1或x1，即不等式f(x2)的解集是(，1)(1，)，选D.答案：D二、填空题7(2013黄冈质检)已知函数f(x)kx33(k1)x2k21(k0)的单调递减区间是(0,4)，则k_.解析：f(x)3kx26(k1)x(k0)，要f(x)0的
6、解集是x(0,4)，所以f(0)0，f(4)0，所以k.答案：8(2013东北联考)已知M是曲线ylnxx2(1a)x上的一点，若曲线在M处的切线的倾斜角是均不小于的锐角，则实数a的取值范围是_解析：依题意得yx(1a)，其中x0.由曲线在M处的切线的倾斜角是均不小于的锐角得，对于任意正数x，均有x(1a)1，即ax.注意到当x0时，x22，当且仅当x，即x1时取等号，因此实数a的取值范围是(，2答案：(，29(2013广州调研)设f1(x)cosx，定义fn1(x)为fn(x)的导数，即fn1(x)fn(x)，nN*，若ABC的内角A满足f1(A)f2(A)f2013(A)0，则sinA的值
7、是_解析：f1(x)cosx，f2(x)f1(x)sinx，f3(x)f2(x)cosx，f4(x)f3(x)sinx，f5(x)f4(x)cosx，fn(x)fn1(x)fn2(x)fn3(x)0，f1(A)f2(A)f2 013(A)f2 013(A)f1(A)cosA0，又A为ABC的内角，sinA1.答案：1三、解答题10(2013北京卷)已知函数f(x)x2xsinxcosx.(1)若曲线yf(x)在点(a，f(a)处与直线yb相切，求a与b的值(2)若曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点，求b的取值范围解析：(1)f(x)2xsinxxcosxsinxx(2cosx)f(a)a(
8、2cosa)0，a0.bf(a)f(0)1，a0，b1.(2)由f(x)2xsinxxcosxsinxx(2cosx)可知f(x)在(，0)增，(0，)减若曲线yf(x)与直线yb有两个不同的交点，则bf(0)1，b的范围为(1，)11(2013重庆卷)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值
9、时该蓄水池的体积最大解析：(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002 rh200 rh元，底面的总成本为160 r2元，所以蓄水池的总成本为(200 rh160 r2)元，又据题意200rh160r212 000所以h(3004r2)，从而V(r)r2h(300r4r2)因r0，又由h0可得r5，故函数V(r)的定义域为(0,5)(2)因V(r)(300r4r3)，故V(r)(30012r2)，令V(r)0，解得r15，r25(因r25不在定义域内，舍去)当r(0,5)时，V(r)0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，V(r)0，故V(r)在(5,5)上为减函数由此可知，V(r)
10、在r5处取得最大值，此时h8.即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大12(2013浙江卷)已知aR，函数f(x)2x33(a1)x26ax.(1)若a1，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)若|a|1，求f(x)的闭区间0,2|a|上的最小值解析：(1)当a1时，f(x)6x212x6，所以f(2)6.又因为f(2)4，所以切线方程为y6x8.(2)记g(a)为f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值，f(x)6x26(a1)x6a6(x1)(xa)，令f(x)0，得到x11，x2a，当a1时，x0(0,1)1(1，a)a(a,2a)2af(x)00f(x)0单调递增极大值3a1单调递减极小值a2(3a)单调递增4a3比较f(0)0和f(a)a2(3a)的大小可得g(a)当a1时，x0(0,1)1(1，2a)2af(x)0f(x)0单调递减极小值3a1单调递增28a324a2得g(a)3a1.综上所述，f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值为g(a)
