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1、关于别离参数法在解决函数方程实根问题的研究摘要：别离参数法：众所周知，就是求谁的参数就把谁别离出来研究，我们知道这是在解决不等式问题时常用的方法。但是，其实利用它的原理，我们可以把它用来解决函数方程的实根问题。关键词：别离参数法；不等式问题；函数方程一、应用举例让我们看一看以下例题：例12021年山东省实验中学月考是否存在实数m，使函数fx=x2-m-1x，f2m在区间0，1上有且只有一个零点？假设存在，求出m的取值范围；假设不存在，请说明理由。解析：对于这类问题，一般解法：1当方程x2-m-1x+2m=0在0，1上有两个相等实根时，那么2当方程x2-m-1x+2m=0有两个不等实根时a有且只
2、有一根在0，1上时，有f0f1m0或m0m+20解得-2b当f0=0时，m=0，令fx=x2+x=0，解得x1=0，x2=-1符合题意。c当f1=0时，吗，令fx=x2+3x-4=0，解得x1=1，x2=-4，符合题意。综上所述，实数m的取值范围为-2，0。注：求解此题不仅应注意到函数的零点应用f1*f0让我们看一下如下巧解：解：令fx=0得：x2-m-1x+2m=0所以m=x2+xx-2设y=x2+xx-2所以yx=x2+xx-2-x2+xx-2x-22=x-22-6x-22因為x0，11x-224-5x-22-6-2即x-22-6x-22-6x-22y2x故函数y=x2+xx-2在0，1上
3、单调递减，当x=0时，ymax=0当x=1时，ymin=12+11-2=-2y-2，0即此时，m-2，0我们不难从上例题看出，此做法十分简单，不管它如何，我们只把参数别离开，用x表示参数。因为题目已给出了x的取值，再利用单调性及函数相关知识即可求出。我们再来看一道例题：例2方程x2+3ax+4=0，在1，2有实根，求a的取值？解析：方程在一个区间内有实根，我们知道可转化成其对应的方程的函数fx在这个区间有零点，这也就转化成零点问题。但是零点问题，由上我们已得出可以利用别离参数函数来解决，所以解题如下：解：x2+3ax+4=0，x1，2-3a=x2+4x=x+4x设y=x+4x，yx=1-4x2
4、x1，211224x211-4x2即yx当x=1时，ymax=1+41=5当x=2时，ymin=2+42=4故函数y=x+4x在区间1，2上值为4，5y4，5即-3a4，5故a-53，-43二、总结其实，对于普遍的一个零点问题，方程实根问题，都可以利用别离参数法来思考。因为题目已给出了实根、有零点，势必别离出来的参数所对应的关于x的方程在一个区间上是恒成立的。它的最后解集是将所有取值并起来。因为并集本身是取值范围更大的子集，而别离参数法那么省去了中间求解，参数取值集合子集的步骤，直接求出大的集合。即不管用x表示出的方程所对应的函数单调性如何，只要利用单调性求出值点，进而推出最值点，便得取值范围。参考文献：【1】张文鹏.初等数论M.陕西师范大学出版社，2021.【2】李文林主编.王元论哥德巴赫猜想M.山东教育出版社，1999.【3】潘承洞，潘承彪著.初等数论M.北京大学出版社，1992.【4】潘承洞，潘承彪著.解析数论根底M.科学出版社，1991.刘书岳，广东省潮州市，饶平县第二中学。
