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1、知识应用定比分点公式解题妙用湖北省武汉市关山中学 严海平x +2 sin xe -1y =_gx+1的值域.作为数学的首要功能之一，应用既是知识的温习和 巩固过程，又是知识的创新过程和认识的飞跃过程，是思维中的最积极活跃的过程.因此，这一过程的探究应当作 为数学探究性教学的重点.下面就定比分点公式在数学解 题中的应用进行探究，以供同仁们交流.点P分Pl P2所成的比 入的有关内容的教学是在高 一数学下册第五章平面向量完成的，有关入的应用篇幅非 常少，但在解题中发觉分比入的用途十分广泛，如何巧妙利用入来解题是一个值得深入探究的问题.在与 数学教研组的各位老师的共同努力下，挖掘出了入的许多巧妙应用
2、.以下是利用 入解题的几个应用例析.一、在函数中的妙用探究1.求值域sin【例1】求函数y = %_解析：设-2，sin x，2分别是P1，P，P2在数轴上 的坐标，sin x +2 P1P则 y = 2sinx=PP2=入，x +1解析：因为当x R，总有x (x) 2 2-x2 +1为此不妨设x , f(x),-2分别是P1 , P , P2在数轴上的坐标，贝y P1 P= XPP2,其中入令于是由定比分点坐标公式得X +入 X22+1f(x)= E .1又因y =f(x)经过点I 0 ,4_T,代入上式得-2入4 = 1 +入,解得入=.x +将入=代入f(x)=- 2 中，1 +入泊1
3、11得 f(x)= 4 2 + 2 + 4 .二、在不等式中的妙用探究1. 解不等式【例3】已知a , b R ,若满足a b a1 + +mbm，则因-1 sin x 0，- 1，y，1分别是P1，P，P2在数轴 上的坐标，ex - 1- 1 +e 知，P为有向线段P1 P2的内分点，所以-1y 1，即原函数的值域为(-1, 1).a +mb实数m的取值范围为,若满a 1 +m b,a+mb则实数m的取值范围为,若满足1+m a b,则实数m的取值范围为 .a +mb解析:设a , 1 +m , b分别是P1 , P , P2在数轴上的a +mb坐标，由1+m知P分P1 P2所成的比X=m
4、,求m的取 值范围既求定比 入的取值范围.a+ mb2.求解析式【例2】二次函数f(x)=a x2 +bx +c的图象经过1x +1点(0 , -4 )，且x (x) W2 2对一切实数x都成立,求 f(x).由a b 1 +m 知P为P1 P2的外分点，在P1 P2的延长线上，故m- 1.a + mb由a一厂+ m0.1994-2016 China AcadctiiiL： Journal Etectronic Pubiishing l luusu. All rightslLip：/ww由刍+mbm a b知P为Pi P2的外分点，在Pi P2的反向延长线上，故-1m0.2 - x【例4解不等
5、式1_千3 X羽，lg(X2 - 2x - 15 )ig(x +13).2 - x解析：令y = 1+3 x - 1为，则131盲 + /y(-飞)口x =3，且y丸.1 + y11于是问题转化为：以 石x，- 尹别是P1，P，P23在数轴上的坐标，定比入=4y丸时，求分点p的坐标x的取值范围问题.3_由定比入=4 y丸知，p为有向线段P1 P2的内分点，1 _1 或与点P1重合，故-3 x 4 .原不等式等价于 OX 2 - 2 x - 150,而 X = PP2= x+13 -(x- 2x - 15)(x - 7)(x +4)0,得解集为x|- 4x - 3 或 5x 7.2. 证明不等式
6、【例5 关于x的二次方程x 2 +ax +b=0有两个实根a, B其中a, b R ,证明 如果| a|2,| Bl,求证:2|a|4+b,且|b|4. 如果 2|a|4 +b,且|b|4 ,求证:| a |2 ,| 2证明:由韦达定理 a + B = a, ab,设数-4 - b, 2a , 4+b分别是P1 , P , P2在数轴上的坐标. 要证2|a|4+b,只需证-4 - b2a 0 ,(因为 I a | , | P2 显然(2+a )(2+P)|b|=| a |4.| 当 2|a|4+b 时,即-4 - b2a0,仿 可知(2 - a )2 - p )0 ,(2 +a )2 +P)
7、，即(2 - a )2 - p)2+a)(2 + p)0,所以(4 - a2)(4 -直2)0. 因此有o24 , P 4, P 4 ,则与 | ap |=|4 矛盾) 即I a很P|2.三、在几何问题中的妙用探究【例6证明：三角形内角平分线分其对边之比等于 夹这个角的两边长度之比.证明：以 OAB的顶点0为原点，/ AOB的平分线 OC所在直线为 x轴，建立直角坐标系，如图所示设|OA|=m , |OB | = n , / AOC =/ COB =0,贝U A(mco s 0,msin 0 ),B(nco s 0,-nsin 0),设点C分AB所成的比为 入,由定比分点公式得msin 0-
8、Ansin 0=。解得津,即 |AC|=|OA|. n|罔 |OB|四、在数列问题中的妙用探究数列是定义在正整数集上的特殊函数 ，等差数列的通 项公式为:an =a1 +(n - 1 )d =dn+(a1 - d), an 为变量 n 的一次 函数(d氓)，其图象为直线上的一些孤立的点 ，故有A(m , sm), B(n , an), C(p , ap)三点共线，为此我们把点C视为AB的一个定比分点，则有P 二 mam +1 ann - p( 2)，ap = m1+1 n.【例7 在1与29之间插入21个数，使它们成等差 数列，求此数列的通项公式.解析:设通项为an ,令点P(n, an)分点A(1, a。，B(23 ,a?3)两点连成的线段所成的比为入，n- 1则有 入=_门，又由题设知 a1 = 1, a?3 =29 ,a1 + 入 a23n - 1 1+n 1 X2923 - n143于是有an =1+A =1+n - 1=11 n - 1123 - n即通项an =143n -.11 113094-20 16 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. ht【p:；】www.unki
