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1、习题四4.1判别下列复数列的收敛性，若收敛求其极限。（1）；（2）；（3）；（4）解：（1）所以复数列收敛。（2），所以复数列收敛，且。（3），复数列不收敛。（4），都不收敛，所以复数列不收敛。4.4判别下列级数的收敛性（1）；（2）；（3）；（4）解：（1）由于，所以发散，但是收敛，所以原级数条件收敛；（2），所以绝对收敛；（3）和均绝对收敛，所以绝对收敛；（4）一般项的实部，虚部为，都发散，所以发散。4.5判断下列命题是否正确。（1）每个幂级数在它的收敛圆上处处收敛。（2）每个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点。（3）每个在连续的函数必能在的邻域能展开成泰勒级数。解：（1）错，幂级数在它的
2、收敛圆上可能收敛，也可能发散。（2）错，每个幂级数的和函数在收敛圆内不可能有奇点。（3）错，因为在的邻域内解析不解析还不知道，如果不解析将不能展开成泰勒级数。4.7求下列幂级数的收敛半径（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。解：（1），收敛半径为；（2），收敛半径为；（3），收敛半径为2；（4），收敛半径为1；（5），收敛半径为；（6），收敛半径为。4.9把下列函数展开成的幂级数，指出收敛半径（1）；（2）；（3）；（4）。解：（1）；（2），即收敛半径为1；（3）；（4）。4.10求下列函数在指定点处的泰勒展开式（1），；（2），；（3）；（4），（5），；（6），（写出前4项）；（7），；（8），。解：（1）其中，即（2） （3）其中（4）其中，即（5）其中（6）其中（7） 其中（8）， 其中其中4.12把下列各函数在指定圆环域内展开成洛朗级数。（1），；（2），；（3）在以为中心的圆环内；（4），。解：（1）在内，；在内，（2）（3）有两个奇点，所以以为中心的圆环域有：和，在内展开，得：在内展开，得：（4）在内，所以4.13把下列各函数在指定圆环域内展开成洛朗级数，并计算沿正向圆周的积分值。（1），的去心邻域；（2），；（3），。解：（1），洛朗展开式中项系数为，所以；（2）在内，洛朗展开式中不含项，所以；（3）在内，洛朗展开式中项系数为，所以。
