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1、. .北方民族大学课程设计报告系部、中心信息与计算科学学院 专 业 信息与计算科学班 级 09信计3班小组成员课程名称 最优化方法设计题目名称运用DFP算法解决无约束最优化问题提交时间2012年6月26日成 绩指导教师摘要变尺度法是在牛顿法的根底上开展起来的，它和梯度法亦有密切关系.变尺度法防止了Newton法在每次迭代都要计算目标函数的Hesse矩阵和它的逆矩阵而导致随问题的维数增加计算量迅速增加.DFP算法是变尺度法中一个非常好的算法.DFP算法首先是1959年由Davidon提出的后经Fletcher和Powell改良，故名之为DFP算法，它也是求解无约束优化问题最有效的算法之一.DFP
2、变尺度法综合了梯度法、牛顿法的优点而又避弃它们各自的缺点，只需计算一阶偏导数，无需计算二阶偏导数及其逆矩阵，对目标函数的初始点选择均无严格要求，收敛速度快.本文主要分析DFP算法原理及运用Matalb软件编程解决实际数学问题.最后运算结果符合计算精度且只用了一次迭代，由此可见收敛速度快.关键词：Newton法 变尺度法 Hesse矩阵 Matlab软件- 优选. .目 录一、课程设计目的1二、课程设计要求1三、课程设计原理11变尺度法根本原理12DFP算法3四、实验内容4五、数学建模及求解41.DFP算法迭代步骤42.DFP算法的流程图5六、程序实现5七、数值实验的结果与分析8八、实验总结与体
3、会91.DFP公式恒有确切解92.DFP算法的稳定性9参考文献10. .word.zl. .一、 课程设计目的：1、掌握无约束优化问题DFP算法的数值求解思路；2、训练分析DFP算法的运算存储量及收敛速度的能力，了解算法的优缺点；3、通过运用DFP算法求解实际无约束优化问题的意义；4、熟悉应用Matlab求解无约束最优化问题的编程方法.二、 课程设计要求熟悉了解DFP算法原理及求解无约束优化问题的步骤，并运用Matlab件编程实现求解问题.三、 课程设计原理1变尺度法根本原理在Newton法中，根本迭代公式，其中，于是有1其中是初始点，和分别是目标函数在点的梯度和Hesse矩阵.为了消除这个迭
4、代公式中的Hesse逆矩阵，可用某种近似矩阵来替换它，即构造一个矩阵序列去逼近Hesse逆矩阵序列此时式1变为事实上，式中无非是确定了第次迭代的搜索方向，为了取得更大的灵活性，我们考虑更一般的的迭代公式(2)其中步长因子通过从出发沿作直线搜索来确定.式2是代表很长的一类迭代公式.例如，当单位矩阵时，它变为最速下降法的迭代公式.为使确实与近似并且有容易计算的特点，必须对附加某些条件：第一， 为保证迭代公式具有下降性质，要求中的每一个矩阵都是对称正定的.理由是，为使搜索方向是下降方向，只要成立即可，即成立.当对称正定时，此公式必然成立，从而保证式2具有下降性质.第二， 要求之间的迭代具有简单形式.
5、显然，(3)是最简单的形式了.其中称为校正矩阵，式3称为校正公式.第三， 必须满足拟Newton条件.即：(4)为了书写方便也记于是拟Newton条件可写为(5)有式3和5知，必须满足或 (6)2DFP算法DFP校正是第一个拟牛顿校正是1959年由Davidon提出的后经Fletcher和Powell改良故名之为DFP算法它也是求解无约束优化问题最有效的算法之一.DFP算法根本原理考虑如下形式的校正公式 (7)其中是特定维向量，是待定常数.这时，校正矩阵是.现在来确定.根据拟Newton条件，必须满足6，于是有或.满足这个方程的待定向量和有无穷多种取法，下面是其中的一种：，注意到和都是数量，不
6、妨取，同时定出，.将这两式代回5.32得.8这就是DFP校正公式.四、 实验内容采用课本P102页例5.3和P107页例5.4进展数值计算；1，求，取初始点.2，求，取初始点.五、 数学建模及求解1.DFP算法迭代步骤在拟Newton算法中，只要把第五步改为计算式8而其他不变，该算法就是DFP算法了.但是由于计算中舍去误差的影响，特别是直线搜索不准确的影响，可能要破坏迭代矩阵的正定性，从而导致算法失效.为保证的正定性，采取以下重置措施：迭代次后，重置初始点和迭代矩阵，即以后重新迭代.目标函数及其梯度，问题的维数，终止限.（1） 选定初始点.计算，.（2） 置，.（3） 作直线搜索；计算，.（4
7、） 判别终止准那么是否满足：假设满足，那么打印，完毕；否转5.（5） 假设，那么置，转2；否那么转6.（6） 计算， 置，转3.2.DFP算法的流程图开场选定，终止准那么满足？Y完毕N？YN六、 程序实现七、 数值实验的结果与分析由上述运行结果可得出：第一题迭代一次就解得：与准确解误差远小于，符合要求.第二题同样迭代一次就解得：与准确解误差远小于，符合要求.且所计算的矩阵和梯度与准确计算所得一样，这也说明DFP算法的matalb程序完全符合要求.八、 实验总结与体会DFP变尺度法综合了梯度法、牛顿法的优点而又避弃它们各自的缺点，只需计算一阶偏导数，无需计算二阶偏导数及其逆矩阵，对目标函数的初始
8、点选择均无严格要求，收敛速度快，这些良好的性能已作阐述。.对于高维维数大于50问题被认为是无约束极值问题最好的优化方法之一。下面对其效能特点再作一些补充说明.1.DFP公式恒有确切解分析DFP公式为使变尺度矩阵恒有确定的解，必须保证该式右端第二项和第三项的分母为异于零的数，*大学编的最优化方法已证明了这两项的分母均为正数.2.DFP算法的稳定性优化算法的稳定性是指每次迭代都能使目标函数值逐次下降。在阐述构造变尺度矩阵的根本要求中。已经证明为保证拟牛顿方向目标函数值下降，必须是对称正定矩阵。*大学编的最优化方法证明了对于f(X)的一切非极小点处，只要矩阵对称正定，那么按DFP公式产生的矩阵亦为对
9、称正定。通常我们取初始变尺度矩阵为对称正定的单位矩阵，因此随后构造的变尺度矩阵序列 (k=1,2, )必为对称正定矩阵序列，这就从理论上保证DFP法使目标函数值稳定地下降。但实际上由于一维最优搜索不可能绝对准确，而且计算机也不可防止地有舍入误差，仍有可能使变尺度矩阵的正定性遭到破坏或导致奇异。为提高实际计算的稳定性，除提高一维搜索的精度外，通常还将进展n次(n为目标函数的维数)迭代作为一个循环，将变尺度矩阵重置为单位矩阵I,并以上一循环的终点作为起点继续进展循环迭代，这己反映在迭代过程和算法框图之中.参考文献：1 优化设计方法M 邵陆寿 ：农业,2007.2 最优化方法 *大学3 最优化方法及其应用 郭科 陈聆 魏友华 高等教育4 MATLAB使用教程 X磊 毕靖 郭莲英人民邮电. .word.zl.
