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1、中学生数学观察能力的培养李竟毅摘要:多年的教学实践中，发现学生大都存在模仿能力较强，观察能力缺乏的通病。本文通过本人在教学中如何注意培养学生的通过观察，积极主动地获取数学信息，联系数学知识，构造数学模型。进而认识数学问题及解决数学问题的能力。数学观察能力在培养中的集中观察方法：（1）直接观察法：中整体规律与局部特点的交错观察法；数量关系与图形特征观察法；三角、几何、代数知识角度的变换。（2）间接观察法：简单化观察法，具体化观察法，特殊化观察法，及反面观察法。观察的主要思想与内容：在含有参数的数学问题中，注意选取主元与辅元；培养减元减次思想；数字构成及规律、数与式变化规律、外形结构题型结构，从观
2、察中挖掘隐含条件，最大程度的获取所提供的信息，才能取得意想不到的效果。关键词：数学 观察能力 培养人类的智力活动总是从眼睛获取信息开始，观察是智力活动的开端和源泉，是人类获得进步的前提，在数学诸能力的培养中，这一点也是很重要的。数学观察能力，它有何作用，在培养的过程中应注意哪些问题。一、数学观察能力的作用 数学观察能力是指人们有目的、有计划、有选择的较持久的数学感知能力，是人们在学习生活中积极主动地获取数学信息，联系数学知识，构造数学模型，进而认识数学问题并解决数学问题的重要能力。它和数学的记忆能力、想象能力、思维能力、运算能力、化简运算能力、猜想能力、探索能力和创造能力共同组成认识、解决及拓
3、展创造数学问题的能力结构，并在这些能力中起基础开发和前沿作用。在解决数学问题时，人们总是从观察理解题意和联系知识开始，即通过有目的的审题设和结论，观察各类已知条件和结论之间的内在和外在联系，充分挖掘隐含条件和题型结构，从而全面了解数学信息，联系记忆，简化类化思维过程，并参与运算。猜想和探索，进而依据所收集到的信息逐步解决问题，探索并发现问题。因而，在这些能力中数学观察能力起着基础和依托作用，同时，通过细致的观察，往往可以抓住主要的信息，简化题型结构，从而找出简便、快捷、实效的解决数学问题或沟通题目思想的方法，进而高质高效的解决问题。人们在数学观察能力方面的水平的高低，很大程度上决定其解决问题的
4、水平高低，所以在教学中重视对学生观察能力的培养是必要的，尤其在现今高考和数学竞赛中越来越注重对数学各种能力的考察，这一点就显得格外重要。二、数学观察能力在培养中的几种主要观察方法 在培养学生数学观察能力的过程中，首先应注意传授给学生观察问题的方法，使他们化被动观察为主动观察，由盲目观察变为有目的、有选择、有针对性地观察，从而起到培养和提高观察的目的性、客观性、全面性、精确性和深刻性的目的。观察方法可按照观察途径划分为直接观察和间接观察1直接观察 直接观察是指对对象的实物直观、模型直观、语言直观加以主动地感性认识的活动。 解决数学问题总是始于直接观察，即通过审题，弄清题目条件与结论，明确题目要求
5、，从而了解题目的基本结构，在头脑中建立起题目的模式，并进一步观察题目，其条件和结论有什么特点，涉及什么概念、定理和题型，还可以挖掘什么隐含条件，条件和结论有何联系和区别，题型有何规律，能否实现课题的类化，并在解题中不断观察，已经解决了什么问题，还需解决的问题，哪些条件还未起用，如何启用解决。（1）整体规律与局部特点的交错观察法 例： 某林场原有森林木材存量为，木材以每年25%的增长率生长。而每年冬天要砍伐的木材量为，为了使经过20年木材翻两番，求每年砍伐量的最大值。 分析：从局部观察，每一次操作都是整体的一部分，即原来木材存量为，则第一年末的木材存量为；第二年末的木材存量为；第20年末的木材存
6、量为，由已知条件翻两番知其为，列方程有。设，则，从而可求出。 此类观察法要考问题的局部特征和整体规律，使文字题或几何型数学归纳法的常用观察法。（2）数量关系和图形特征观察法 有些问题直接求解有一定的困难，但仔细观察其数量关系与图形结构特征，那些隐蔽得很深的数量关系将暴露无遗，从而使问题得到巧妙解决。 例：求函数的最小值。分析：直接用根式性质及二次函数求解很难求得最小值，但若细致观察其数字特征容易发现该函数式类似于两点间距离公式，因而转化为几何问题求解，即转化为，设点A(2, 2)，B(1, 1)，P(, 0)，求的最小值，即在轴上找一点P，使它到A(2, 2)，B(1, 1)的距离之和最小，进
7、一步由镜面反射原理（如图）找出点B关于轴的对称点，当P处于与轴交点时取得最小值，所以，即（3）三角、几何、代数知识角度的更换 注意观察数据的结构特点，灵活转换三角、几何、代数角度，可使问题得到巧妙解决。例：在正的外接圆的劣弧BC上任取一点P，求证：（1）;（2） 分析：通过截取法、旋转法等都可证得（1），但对（2）无能为力。通过观察（1）、（2）的数据特征，易发现等式左边恰为两数和与积，联系韦达定理知，即证、是方程的两根，则在中，由余弦定理得，故是方程的根。同理可证也是方程的根，从而可得。2间接观察 当所要解决的数学问题较为复杂时，直接观察一般难以入手，这是应注意进行间接观察。 （1）简单化观
8、察法 问题较为复杂，思路、方法不够明确时，可先将问题简单化，进行简单观察，进而比较原命题情况，从而沟通解题思路和方法。 例：设，求证：。 分析：若展开后证明项多且不易比较，无从入手。简单化： 若，求证：。则由知其成立。类比为三式时，则故原命题可由得证。 （2）具体化观察法 当问题较为抽象，题意不够明显，思路、方法难寻时，一般要进行具体化，使题意明确，思路清晰，方法便捷。 例：求的末位数字。 分析：观察前20个数的末位数字：1，的末位数字依次为：1，4，7，6，5，6，3，6，9，0，1，6，3，6，5，6，7，4，9，0。它们前十个的和的末位数字是7，后十个的和的末位数字也是7。而所有的末位数
9、字组成以20为周期的循环序列，因此，由1开始，每十个连续的，之和的末位数字都是7。所以原式的末位数字是的末位数字0。（3）特殊化观察法 对于特殊函数、定值、定点等特殊问题，直接观察一般难于解决，这时，可根据题设要求仔细观察特殊状态下将呈现出来的性质和规律，然后类化解决。 例：定义在R上的奇函数是增函数，偶函数在上的图像与的图像重合，当时，下列不等式成立的有哪些？ ； ； ； 。 分析： 本例直接用图象法或函数性质观察讨论，繁杂切易错。若进行特殊化观察，依题意，令，则，代入上面四个式子可迅速判定成立的式子为、，且易于理解掌握。 （4）反面观察法 一些探索性、无穷性逻辑问题及正面观察难于解决的问题
10、可采用反面观察法。 例：求函数的值域。 分析：直接观察及特殊观察等都难于入手，但从反面入手，利用反函数定义域或类似表达式则可较易解决。原函数可化为，即，从而可得。三、观察的主要思想与内容 认识以上几种主要观察方法后，还需进一步认识数学观察中的目的性和选择性，从而有利于观察能力的整体提高。 1在数学问题中，特别是函数、方程、不等式及其他综合性问题往往含有许多参数。在观察中应注意选取合适的主元与副元，使题型得以简化，从而达到实效高质的解题目的。 例：不等式对于满足的一切实数均成立，求的取值范围。分析：本例若以为主元，则需分多类情况讨论，并应用二次函数性质求解，使得问题变得相当复杂。通过仔细观察可发
11、现它是关于的二次函数，也是关于的一次函数，故以为主元时只需考虑一次函数的值在内恒为负值时，相应的范围即可。解：令，则原命题可转化为求在内恒为负值时，的范围。故可解不等式组即解得为所求。 2观察能力培养中的减元降次思想 在数学问题中的参数字母过多、次数过高时，不利于观察，一般应先减元降次，使观察得以顺利进行。 例：求的值。分析：直接观察会发现字母、参数过多，很难找到解题的突破点。采用减元替换思想，令，则，原式转化为，从后两式分母中发现均含有或，故分子分母同乘以或，则原式化为。3数字观察在数列问题中，要观察数列中的数字构成及规律，函数构造等问题也往往涉及到数字问题。对数字及规律的观察有助于猜想、探
12、索及创造能力的培养。例：求和：分析：直接相加求解显然不易计算，但仔细观察数列构成可发现，数列中的每一项由两个因数组成，前一个因数成公差为2的等差数列，后一个因数成公比为3的等比数列，从而得出可以用“错位相减法”利用、求得，从而求得。解： -得 4数与式变化规律的观察 在函数问题中常要观察数与式的周期性的变化规律。 例：设且，求。分析：直接求解不易求出，寻求可能出现的数式规律，简化求解。解： ，所以。5外形结构观察 许多数学问题的设置实质上是由一些公式、定理或特殊恒等式变化得到的，因而细致观察命题构成的外形是很重要的。例：已知、，且，求证：。分析：本例难以从已知条件中寻找相关的、与0的独立关系，
13、看似无从下手，但仔细观察题设条件的外形，可以发现、三式实为一元三次方程三个根的关系在韦达定理中的体现，从而将命题转化为一元三次方程的根的情况进行分析，判断根的性质便可简易证明。证明：令则、为的三个实根。，当时，恒成立。的图象只与轴的正半轴有交点，故。 6题型结构的观察 在解决数学问题时，往往会发现题型结构具有明显的启发性，通过对题中的题设、结论结构特点的观察，会发现许多类似知识点或公式、定理，从而找到解决问题的思路和方法。 例：在四边形ABCD中，且 求证：四边形ABCD是菱形。 分析：本题的关键在于证明四条边相等，即，又四边形是一个封闭的图形，则有。 证明：， ，即 同理可证 -得，从而可得
14、，即、 同理可得 由、分别代入可得，所以，故四边形ABCD是菱形。 7观察中挖掘隐含条件 审题时，尽可能地从题设及结论中挖掘出隐含条件，最大程度地获取所提供的信息，才能取得意想不到的效果。 例：已知：、是实数，函数对任意、，有；。（1）求的值； （2）证明： ；（3）设的最大值为10，求。 分析：由题设知的图象是抛物线，由，可得当时，；由，可得当时，；由此可知题设中隐含着且这个条件，从而可得。结合，可证明，则，故抛物线的对称轴，则在上是减函数，当时，取得最大值，从而求出此时的。（1） 解：对任意、，有，又满足且，且，故。（2） 证明：由，得， 当时，使成立，即 把代入得，解得。 （3） 解：，则抛物线的对称轴为 在上是减函数； ，当时取得最大值10，即，解得， 故。四、在教学中如何培养数学观察能力在教育教学上培养数学观察能力首先要注意使学生认识到观察的重要性，培养学生的观察兴趣，通过直观渗透及对比、类化、识图、实践等方法，使学生直观认识到观察能力的重要性及其在实践与解题中的简便快捷等特性，并从中产生兴趣，从而化被动为主动，积极进行观察和积累，从中得益。其次，要注意
