2010高考数学复习专题：函数的最值

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1、文档供参考，可复制、编制，期待您的好评与关注！函数的最值（值域）高考要求掌握求函数值域的基本方法（直接法、换元法、判别式法）；掌握二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法最值问题，几乎涉及到高中数学的各个分支，是历年高考重点考查的知识点之一，有一些基础题，也有一些小综合的中档题，更有一些以难题形式出现它经常与三角函数、二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识紧密联系所以其解法灵活，综合性强，能力要求高解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法考生的运算能力，分析问题和解决问题能力在这里充分展现因此我们应注意总结最大、最小

2、值问题的解题方法与技巧，以提高高考应变能力因函数的最大、最小值求出来了，值域也就知道了反之，若求出的函数的值域为非开区间，函数的最大或最小值也等于求出来了重难点归纳 (1)求函数的值域此类问题主要利用求函数值域的常用方法配方法、分离变量法、单调性法、导数法数形结合法（图像法）导数法数形结合法、判别式法、部分分式、均值不等式、换元法、不等式法等无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域 (2)函数的综合性题目此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力在今后的命题趋势中综合性题型仍

3、会成为热点和重点，并可以逐渐加强 (3)运用函数的值域解决实际问题此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力知识点归纳一、相关概念1、值域：函数，我们把函数值的集合称为函数的值域。2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值。因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0) = M。那么，称M是函数y=f(

4、x)的最大值。记作最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最小值。记作注意：函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0I，使得f(x0) = M；函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xI，都有f(x)M（f(x)M）。二、确定函数值域的原则1、当函数用表格给出时，函数的值域指表格中实数y的集合；x0123y=f(x)1234则值域为1，2，3，42、数的图像给出时，函数的值域是指图像在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合；3、数用解析式给出时

5、，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；4、由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义决定。三、基本函数的值域1、一次函数的定义域为R，值域为R； 2、二次函数的定义域为R，；当 3、反比例函数的定义域为x|x0，值域为；4、数函数的值域为；5、对数函数的值域为R；6、函数y=sinx、y=cosx的值域是；7、函数,的值域为R。四、求函数值域的方法函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等

6、方法求一些简单函数的值域问题。常用方法：（1）观察法(用非负数的性质，如：；等)例如：求下列函数的值域：y=-3x2+2;y|y2变式：y=5+2(x-1).y|y5最值问题，几乎涉及到高中数学的各个分支，是历年高考重点考查的知识点之一，有一些基础题，也有一些小综合的中档题，更有一些以难题形式出现它经常与三角函数、二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识紧密联系所以其解法灵活，综合性强，能力要求高解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法考生的运算能力，分析问题和解决问题能力在这里充分展现函数y=ax+1 (a0，1x1)的值域是_.（2）直接法：利

7、用常见函数的值域来求，（3）配方法：(二次或四次) 转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为含有自变量的平方式与常数的和，型如：的形式，然后根据变量的取值范围确定函数的最值；例如：求值域：y=，；x；；变式1：yx4x1 x-1,3)；变式2：求函数y=的值域.变式3：当时，函数在时取得最大值，则的取值范围是_（答：）；（4）换元法（代数换元法）通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题，化归思想；例如：求函数的值域. 变式1：求函数y=3x-的值域.y|y变式2：的值域为_（答：）（令，。运用换元法时，要特别要注意新元的范围）

8、；变式3：的值域为_（答：）；变式4：函数的值域为_变式5：的值域为_（答：）；变式6：的值域为_（答：）；变式7：求函数的值域（5）分离常数法（分式转化法）；对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域（6）逆求法（反求法）：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围；常用来解，型如：例如：求下列函数的值域：y=(y|y)变式：函数y=的值域是（）A.1，1 B.（1，1 C.1，1） D.（1，1）解法一：y=1. 1+x21，02.1y1.解法二：由y=，得x2=.x20，0，解得1y1.解法三：令x=tan（），则y=cos2.2，1cos21，即1

9、y1.答案：B求函数的值域求函数的值域（7）利用判别式法（将函数转化为二次方程）；若函数y=f（x）可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a（y）x2+ b（y）x+c（y）=0，则在a（y）0时，由于x、y为实数，故必须有=b2（y）4a（y）c（y）0，从而确定函数的最值，检验这个最值在定义域内有相应的x值.例5求函数y =的最值-变式：；1,5（8）三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；求函数，的值域（答：、（0,1）、）；（9）基本不等式法：转化成型如：，利用基本不等式公式来求值域；设成等差数列，成等比数列，则的取值范围是_.（答：）。求函数的值域求函

10、数的最小值（10）单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；求，的值域为_（答：、）；函数f(x)=的值域【】函数的值域【】（11）数形结合：根据函数图象或函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域已知点在圆上，求及的取值范围（答：、）；求函数y =+ 的值域.求函数的值域（12）导数法求函数，的最小值。（答：48）典例剖析题型一：函数值域问题例1、求下列函数的

11、值域 y=3x+2(-1x1) 解：-1x1，-33x3，-13x+25，即-1y5，值域是-1，5 即函数的值域是 y| y2 即函数的值域是 y| yR且y1（此法亦称分离常数法）当x0，=，当x0时，=值域是2，+)（此法也称为配方法）函数的图像为：值域是2，+)例2求下列函数的值域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）。解：（1）（配方法），的值域为。改题：求函数，的值域。解：（利用函数的单调性）函数在上单调增，当时，原函数有最小值为；当时，原函数有最大值为。函数，的值域为。（2）求复合函数的值域：设（），则原函数可化为。又，故，的值域为。（3）（法一

12、）反解法：由得，由此得原函数的值域为。（法二）分离变量法：，函数的值域为。（4）换元法（代数换元法）：设，则，原函数可化为，原函数值域为。注：总结型值域，变形：或（5）三角换元法：，设，则，原函数的值域为。（6）数形结合法：，函数值域为。（7）判别式法：恒成立，函数的定义域为。由得：当即时，即，当即时，时方程恒有实根，且，原函数的值域为。（8），当且仅当时，即时等号成立。，原函数的值域为。（9）（法一）方程法：原函数可化为：，（其中），原函数的值域为。点评：上面讨论了用初等方法求函数值域的一些常见类型与方法，在现行的中学数学要求中，求值域要求不高，要求较高的是求函数的最大与最小值，在后面的复

14、它的图象，由图象可知，函数的值域是y|y3解法2：（几何法或图象法）函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，易见y的最小值是3，函数的值域是3，+ 如图例5求函数的值域解：(换元法)设则 t0 x=1-代入得 t0 y4例6设函数，（1）求函数的定义域；（2）问是否存在最大值与最小值？如果存在，请把它写出来；如果不存在，请说明理由解：（1）由，解得当时，不等式解集为；当时，不等式解集为，的定义域为（2）原函数即，当，即时，函数既无最大值又无最小值；当，即时，函数有最大值，但无最小值题型二：最值问题例1（2002全国理，21）设为实数，函数，（1）讨论的奇偶

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