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1、最新版教学资料数学4.4三角函数的图象和性质1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数ysin x，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,0)，(，1)，(，0)，(，1)，(2，0).余弦函数ycos x，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,1)，(，0)，(，1)，(，0)，(2，1).2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数ysin xycos xytan x图象定义域RRx|xR且xk，kZ值域1,11,1R单调性2k，2k(kZ)上递增；2k，2k(kZ)上递减2k，2k(kZ)上递增；2k，2k(kZ)上递减(k，k)(kZ)上递增最值x2k(kZ)时，ymax1；x
2、2k(kZ)时，ymin1x2k(kZ)时，ymax1；x2k(kZ)时，ymin1奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(k，0)(kZ)(k，0) (kZ)(，0)(kZ)对称轴方程xk(kZ)xk(kZ)周期221.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)常数函数f(x)a是周期函数，它没有最小正周期.()(2)ysin x在x0，上是增函数.()(3)ycos x在第一、二象限上是减函数.()(4)ytan x在整个定义域上是增函数.()(5)yksin x1(xR)，则ymaxk1.()(6)若sin x，则x.()2.(2013江苏)函数y3sin的最小正周期为 _.答案解析
3、2，T.3.若函数f(x)sin x (0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则_.答案解析f(x)sin x(0)过原点，当0x，即0x时，ysin x是增函数；当x，即x时，ysin x是减函数.由f(x)sin x (0)在上单调递增，在上单调递减知，.4.(2013湖北改编)将函数ycos xsin x(xR) 的图象向左平移m(m0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是_.答案解析ycos xsin x2sin(x)向左平移m个单位长度后得到y2sin(xm)，它 关于y轴对称可得sin(m)1，mk，kZ，mk，kZ，m0，m的最小值为.5.函数ylg sin
4、2x的定义域为_.答案x|3x或0x解析由，得3x或0x.函数ylg sin 2x的定义域为x|3x或0x.题型一求三角函数的定义域和最值例1(1)(2012山东改编)函数y2sin(0x9)的最大值与最小值之和为_.(2)函数y的定义域为_.思维启迪求函数的定义域可利用三角函数的图象或数轴；求函数最值或值域时要利用图象、三角变换、二次函数等知识.答案(1)2(2)x|xk且xk，kZ解析(1)利用三角函数的性质先求出函数的最值.0x9，x，sin.y，ymaxymin2.(2)要使函数有意义，必须有，即故函数的定义域为x|xk且xk，kZ.思维升华(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角
5、不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：形如yasin xbcos xc的三角函数化为yAsin(x)k的形式，再求最值(值域)；形如yasin2xbsin xc的三角函数，可先设sin xt，化为关于t的二次函数求值域(最值)；形如yasin xcos xb(sin xcos x)c的三角函数，可先设tsin xcos x，化为关于t的二次函数求值域(最值).(1)函数ylg(sin x)的定义域为_.(2)函数ysin2xsin x1的值域为_.答案(1)x|2kx2k，kZ(2)，1解析(1)要使函数有意义必须有即解得(kZ
6、)，2kx2k，kZ，函数的定义域为x|2k0)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解.但如果0，(，)的最小正周期为，且其图象关于直线x对称，则在下面四个结论：图象关于点(，0)对称；图象关于点(，0)对称；在0，上是增函数；在，0上是增函数中，所有正确结论的编号为_.答案(1)(2)解析(1)由正弦函数的图象知对称中心与对称轴的距离的最小值为最小正周期的，故f(x)的最小正周期为T4.(2)T，2.又2k(kZ)，k(kZ).(，)，ysin(2x)，由图象及性质可知正确.三角函数的单调性、对称性典例：(20分)(1)已知0，函数f(x)sin(x)在(，)上单调递减，则的取
7、值范围是_.(2)已知函数f(x)2cos(x)b对任意实数x有f(x)f(x)成立，且f()1，则实数b的值为_.(3)(2012课标全国改编)已知0,00且|)在区间，上单调递减，且函数值从1减小到1，那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为_.思维启迪(1)(，)为函数f(x)某个单调减区间的子集；(2)由f(x)f(x)可得函数的对称轴，应用函数在对称轴处的性质求解即可；(3)f(x)sin(x)图象相邻两条对称轴之间的距离是；(4)可结合图象分析函数的单调性，周期性确定，.解析(1)由x得x，由题意知(，)，.(2)由f(x)f(x)可知函数f(x)2cos(x)b关于直线x对称，又函数f
8、(x)在对称轴处取得最值，故2b1，b1或b3.(3)由题意得周期T22，2，即1，f(x)sin(x)，fsin1，0，.(4)函数ysin(x)的最大值为1，最小值为1，由该函数在区间，上单调递减，且函数值从1减小到1，可知为半周期，则周期为，2，此时原函数式为ysin(2x)，又由函数ysin(x)的图象过点(，1)，代入可得，因此函数为ysin(2x)，令x0，可得y.答案(1)，(2)1或3(3)(3)温馨提醒(1)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解.(2)函数yAsin(x)b的图象与其对称轴的交点是最值点.方法与技巧1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成yAsin(x)(
