《竞赛培训专题5---指数函数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《竞赛培训专题5---指数函数（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第1页 共1页竞赛培训专题5-指数函数、对数函数一、计算：例1.化简(1) (2)(3)解：(1)x的指数是所以原式=1(2)x的指数是=0所以原式=1(3)原式=例2.若，求解：因为 所以f(x)+f(1-x)=1=例3.已知m,n为正整数，a0,a1,且求m,n解：左边= 原式为loga(m+n)=logamn得m+n=mn即(m-1)(n-1)=1因为m,nN，所以从而m=n=2二、比较大小例1.试比较与的大小解：令121995=a0则=所以例2.已知函数f(x)=logax (a0,a1,xR+)若x1,x2R+,试比较
2、与的大小解：f(x1)+f(x2)=loga(x1x2)x1,x2R+, (当且仅当x1=x2时，取“=”号)，当a1时，有，即 (当且仅当x1=x2时，取“=”号)当a1时，有，即 (当且仅当x1=x2时，取“=”号)例3.已知y1=，y2=，当x为何值时(1)y1=y2 (2)y1y2 (3)y1y2的充要条件是：2x2-3x+1x2+2x-5 解得x3(3)y1y2的充要条件是：2x2-3x+1x2+2x-5 解得2x3三、证明例1.对于自然数a,b,c (abc)和实数x,y,z,w若ax=by=cz=70w (1) (2)求证：a+b=c证明：由(1)得：把(2)代入得：abc=70
3、=257,abc由于a,b,c均不会等于1，故a=2,b=5,c=7从而a+b=c例2.已知A=6lgp+lgq，其中p,q为素数，且满足q-p=29，求证：3A4证明：由于p,q为素数，其差q-p=29为奇数，p=2,q=31A=6lg2+lg31=lg(2631)=lg19841000198410000故3A0,a1)且 (q为锐角)，求证：1a1又f(15)=sinq+cosq=1故a15 综合得：1a15例4.已知0a1,x2+y=0，求证：证：因为0a0,ay0由平均值不等式故四、图象和性质例1.设a、b分别是方程log2x+x-3=0和2x+x-3=0的根，求a+b及log2a+2
4、b解：在直角坐标系内分别作出函数y=2x和y=log2x的图象，再作直线y=x和y= -x+3，由于y=2x和y=log2x互为反函数，故它们的图象关于直线y=x对称，方程log2x+x-3=0的根a就是直线y= -x+3与对数曲线y=log2x的交点A的横坐标，方程2x+x-3=0的根b就是直线y= -x+3与指数曲线y=2x的交点B的横坐标设y= -x+3与y=x的交点为M，则点M的横坐标为(1.5,1.5)，所以a+b=2xM=3 log2a+2b=2yM=3例6.设f(x)=min(3+，log2x),其中min(p,q)表示p、q中的较小者，求f(x)的最大值解：易知f(x)的定义域
5、为(0,+)因为y1=3+在(0,+)上是减函数，y2=log2x在(0,+)上是增函数，而当y1=y2，即3+=log2x时，x=4，所以由y1=3+和y2=log2x的图象可知 故当x=4时，得f(x)的最大值是2另解：f(x)3+=3- (1) f(x)=log2x (2)(1)2+(2)消去log2x，得3f(x)6，f(x)2 又f(4)=2,故f(x)的最大值为2例7.求函数的最小值解：由1-3x0得，x0且a1,求证：方程ax+a-x=2a的根不在区间-1,1内解：设t=ax,则原方程化为：t2-2at+1=0 (1) 由D=4a2-40得a1,即a1令f(t)= t2-2at+
6、1 , f(a)=a2-2a2+1=1-a20所以f(t)的图象与横轴有的交点的横坐标在之外，故方程t2-2at+1=0在之外有两个实根，原方程有两实根且不在区间-1,1内例3.解方程：lg2x-lgx-2=0 (其中x表示不大于实数x的最大整数)解：由x的定义知，xx，故原方程可变为不等式：lg2x-lgx-20即-1lgx2当-1lgx0时，lgx= -1，于是原方程为lg2x=1 当0lgx1时，lgx=0，原方程为lg2x=2，均不符合lgx=0当1lgx0且a1，设u=x2+ax+5，原不等式可化为(1)当0a1时，不等式化为 (2)由f(4)=1知，(2)等价于0u4，即0x2+ax+54从上式可知，只有当x2+ax+5=4有唯一解即D=a2-4=0，a=2时，不等式0x2+ax+54有唯一解x= -1综上所述，当a=2时原不等式有且只有一个解例5.已知a0且a1，试求使方程有解的k的取值范围解：原方程即即分别解关于的不等式、方程得： (k0时)所以解得k -1或0k1又当k=0时，代入原式可推出a=0与已知矛盾，故k的取值范围为(-,-1)U(0,1)第 1 页 共 1 页
