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1、一元二次方程的解法一元二次方程1.定义：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a0）这种形式叫做一元二次方程的一般形式 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项 例1将方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项 例2. 判断下列方程是否为一元二次方程？ (1)3x+2=5y-3 (2) x2=
2、4 (3) 3x2-=0 (4) x2-4=(x+2) 2 (5) ax2+bx+c=0作业设计 一、选择题 1在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ） 3x2+7=0 ax2+bx+c=0 （x-2）（x+5）=x2-1 3x2-=0 A1个 B2个 C3个 D4个 2方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ） A2，3，-6 B2，-3，18 C2，-3，6 D2，3，6 3px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（ ） Ap=1 Bp0 Cp0 Dp为任意实数 二、填空题 1方程3x2-3=2x+1的二次项系数为_，一次项系数为_，常数项
3、为_ 2一元二次方程的一般形式是_ 3关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是_方程的解一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根（只含有一个未知数的方程的解，又叫方程的根） 例1下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4例2你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？ （1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0练习： 一、选择题 1方程x（x-1）=2的两根为（ ） Ax1=0，x2=1 Bx1=0，x2=-1 Cx1=1，x2=2 Dx1=-1，x2=2二、填空题 1如果x2-81=0，那么x2-81
4、=0的两个根分别是x1=_，x2=_ 2已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为_一元二次方程的解法直接开平方法一、练习题 1若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（ ） Ap=4，q=2 Bp=4，q=-2 Cp=-4，q=2 Dp=-4，q=-22若8x2-16=0，则x的值是_ 3如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是_（二）、配方法配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程化为一般形式；（2）二次项系数化为1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式（5）变形为(x+p)2=q的形式
5、，如果q0，方程的根是x=-pq；如果q0,方程无实根练习： 一、选择题 1将二次三项式x2-4x+1配方后得（ ） A（x-2）2+3 B（x-2）2-3 C（x+2）2+3 D（x+2）2-3 2已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（ ） Ax2-8x+（-4）2=31 Bx2-8x+（-4）2=1 Cx2+8x+42=1 Dx2-4x+4=-11 3如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（ ） A1 B-1 C1或9 D-1或94配方法解方程2x2-x-2=0应把它先变形为（ ） A（x-）2= B（x-
6、）2=0 C（x-）2= D（x-）2=二、填空题 1如果x2+4x-5=0，则x=_(配方法)1用适当的数填空：、x2+6x+ =（x+ ）2； 、x25x+ =（x ）2；、x2+ x+ =（x+ ）2； 、x29x+ =（x ）22将二次三项式2x2-3x-5进行配方，其结果为_3已知4x2-ax+1可变为（2x-b）2的形式，则ab=_4将一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成（x+a）2=b的形式为_，所以方程的根为_5若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是（ ） A3 B-3 C3 D以上都不对6用配方法将二次三项式a2-4a+5变形，结果是（ ） A（a-2）2+1
7、B（a+2）2-1 C（a+2）2+1 D（a-2）2-17把方程x+3=4x配方，得（ ） A（x-2）2=7 B（x+2）2=21 C（x-2）2=1 D（x+2）2=28用配方法解方程x2+4x=10的根为（ ） A2 B-2 C-2+ D2-9不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（ ）A总不小于2 B总不小于7 C可为任何实数 D可能为负数10用配方法解下列方程：（1）3x2-5x=2 （2）x2+8x=9（3）x2+12x-15=0 （4） x2-x-4=0（公式法）用配方法解方程 （1） ax27x+3 =0 (2)a x2+bx+3=0 (3)如果这个一元二
8、次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题 问题：已知ax2+bx+c=0（a0），试推导它的两个根x1=，x2=(这个方程一定有解吗?什么情况下有解？) 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去 解：移项，得：ax2+bx=-c 二次项系数化为1，得x2+x=- 配方，得：x2+x+（）2=-+（）2 即（x+）2= 4a20，4a20, 当b2-4ac0时0 （x+）2=()2 直接开平方，得：x+= 即x= x1=，x2= 由上可知，一元二次方程a
9、x2+bx+c=0（a0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此： （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac0时，将a、b、c代入式子x=就得到方程的根(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。) （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法公式的理解 （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根一、 基础练习 用公式法解下列方程（1） ； （2）x2+1.5=3x（3）（4）4x23x2=0三、巩固训练1、方程3x2kx3=0的一个根是4，
10、则另一个根是 ，k= 。2、已知一元二次方程x2-2x+m=0，b2-4ac=0,则m= ,x= .3、方程x24x3=0的解为 。二、选择：1、关于x的一元二次方程kx22x1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A、k-1 B、k1 C、k0 D、k-1且k02、一元二次方程y22y4=0的根的情况为（ ） A、没有实数根； B有两个相等的实数根；C、有两个不相等的实数根； D、不能确定；3、下列方程中有两个相等的实数根的是（ ） A、3x2x1=0; B、x22x1=0;C、9x2=4（3x1）; D、x27x15=0.三、用公式法解方程(1)2x2-x-1=0; (2)4x
11、2-3x+2=0 ; (3)x2+15x=-3x; (4)x2+x-6=0; (5)3x2-6x-2=0; (6)4x2-6x=0（四）“十字相乘法” 一、用“十字相乘法”对某些特殊的多项式因式分解 例1计算 解：反过来我们就得到 因式分解的结果： 。我们把这个过程用以下划十字的形式来反映：把二次项拆成，分别写在十字交叉的左边上下两角，把常数项4拆成，写在右边上下两角。上下两数可适当换位，使交叉相乘的和等于一次项！ 练习一 用“十字相乘法” 把以下多项式分解因式：（1） = （2） = （3） = （4） = （5） = （6） = （7） = （8） = 总结：（1）当二次项系数是正数时，如果常数项是正数，必须拆成同号两个数相乘：一次项系数为正则拆成两个数同为正，一次项系数为负则拆成两个数同为负。（2）当二次项系数是1时，如果常数项是负数，拆成异号两个数相乘：这两个数绝对值之差的绝对值正好是一次项系数的绝对值。（3）不是所有二次三项
