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1、第四章 贝叶斯分析Bayesean Analysis4.0引引言一、决策问问题的表表格表示示损失失矩阵 对对无观察察(Noo-daata)问题 aa= 可可用表格格(损失矩矩阵)替代决决策树来来描述决决策问题题的后果果(损失): ()()()或 ()()()损失矩阵直直观、运运算方便便 二、决策原原则 通通常，要要根据某某种原则则来选择择决策规规则，使结结果最优优(或满意意)，这种种原则就就叫决策策原则，贝贝叶斯分分析的决决策原则则是使期期望效用用极大。本本章在介介绍贝叶叶斯分析析以前先先介绍芙芙他决策策原则。三、决策问问题的分分类：1.不确定定型(非确定定型) 自自然状态态不确定定,且各种种
2、状态的的概率无无法估计计.2.风险型型 自自然状态态不确定定,但各种种状态的的概率可可以估计计.四、按状态态优于： I, 且至至少对某某个i严格不不等式成成立, 则称行行动按状状态优于于4.1 不确确定型决决策问题题一、极小化化极大(walld)原原则(法则、准准则) l ( , ) 或 例:1087941921316121469810 各各行动最最大损失失: 113 166 122 14 其其中损失失最小的的损失对对应于行行动. 采采用该原原则者极极端保守守, 是悲悲观主义义者, 认为老老天总跟跟自己作作对.二、极小化化极小 l ( , ) 或 例:108794192131612146981
3、0 各各行动最最小损失失: 4 11 7 2 其其中损失失最小的的是行动动. 采采用该原原则者极极端冒险险，是乐乐观主义义者，认认为总能能撞大运运。三、Hurrwittz准则则上两法的折折衷，取取乐观系系数入 l ( , )（1 l ( , )例如 =0.55时 : 22 0.5 3.55 1 （1: 66.5 88 6 77 两者之之和： 88.5 8.55 9.55 88其中损失最最小的是是：行动动四、等概率率准则(Lapplacce) 用 来评价价行动 的优劣劣 选 上例例： : 33 334 36 355 其中中行动 的损失失最小五、后梅值值极小化化极大准准则(ssvagge-NNie
4、hhanss)定义后梅值值 =- 其中为为自然状状态为 时采取取不同行行动时的的最小损损失.构成后梅值值(机会成成本)矩阵 S= ,使后后梅值极极小化极极大,即: 例:损失矩矩阵同上上, 后梅梅值矩阵阵为: 3 1 00 2 3 0 88 1 1 4 00 2 0 3 22 4各种行动的的最大后后梅值为为: 33 4 8 44 其中行行动a1 的最最大后梅梅值最小小,所以按按后梅值值极小化化极大准准则应采采取行动动1.六、Kreellee准则：使损失是效效用的负负数(后果的的效用化化),再用用等概率率(Laaplaace)准则.七、莫尔诺诺(Moolnoor)对对理想决决策准则则的要求求 (1
5、9954) 1.能把方方案或行行动排居居完全序序； 2.优劣次次序与行行动及状状态的编编号无关关； 3.若行动动 按状态态优于，则则应有 优于 ； 4.无关方方案独立立性：已已经考虑虑过的若若干行动动的优劣劣不因增增加新的的行动而而改变； 5.在损失失矩阵的的任一行行中各元元素加同同一常数数时，各各行动间间的优劣劣次序不不变； 6.在损失失矩阵中中添加一一行，这这一行与与原矩阵阵中的某某行相同同，则各各行动的的优劣次次序不变变。4.2 风险型型决策问问题的决决策原则则一、最大可可能值准准则 令 ()=mmax() 选 使使 l(,)=l(,)例：()0.276.560.53450.3410 (
6、) 概率率最大, 各行行动损失失为 33 4 5 应选行行动二、贝叶斯斯原则使期望损失失极小： l( , ) () 上例中中,各行动动的期望望损失分分别为 4.11 33.6 3.7, 对应应于的期期望损失失3.66最小应选.三、贝努利利原则损失函数取取后果效效用的负负值,再用Baayess原则求求最优行行动.四、EVV(均值值方差)准则 若若 且 则优于通常不存在在这样的的 上例中中: E 4.1 3.66 3.77 V() 2.29 3.79 5.9677不存在符合合EV准则的的行动, 这时时可采用用f(,)的值来来判断(为效益益型后果果的期望望) - f( ，)= - -(+) f越大大
7、越优.五、不完全全信息情情况下的的决策原原则(HHodgges-Lehhmannn原则则) 状态态概率分分布不可可靠时, 可采采用: ()= + i=1,22, ,mm j=11,2,n 越大越越优.4.3贝贝叶斯定定理一、条件概概率1.A、BB为随机机试验EE中的两两个事件件 P(AB)=P(AAB)/P(BB)由全概率公公式: j=1,22,n 是样本本空间的的一个划划分, P(BB)=PP(B|)P()得Bayees公式式 P(|B)=P(BB|)P()/P(BB) = PP(B|)P()/P(BB|)PP()2. 对,两个随随机变量量条件概率率密度 f(| xx)=ff(x |)f()
8、/ff(x) 在主观概概率论中中 (| xx)=ff(x |)()/mm(x)其中：()是的先验验概率密密度函数数 f(x)是出现时时，x的条件件概率密密度,又称似似然函数数. m(x)是是x的边缘缘密度, 或称称预测密密度. mm(x)= ff(x |)() dd 或或 p(xx|)() (x)是观观察值为为x的后验验概率密密度。例：A 坛坛中白球球30%黑球700% B 坛坛中白球球70%黑球300%两坛外形相相同，从从中任取取一坛，作作放回摸摸球122次,其中白白球4次，黑黑球8次，求求所取为为A坛的概概率.解：设观察察值4白8黑事件件为x，记取取A坛为 , 取B坛为 在在未作观观察时，
9、先先验概率率p()=p()=0.5 则在作观观察后，后后验概率率 P(|x)=p(xx|)pp()p(xx|)pp()+p(xx|)pp() =0.55(0.55+0.55) =() =0.240010.24882 =0.9677 显显然, 通过试试验、观观察、可可修正先先验分布布.4.4 贝叶斯斯分析的的正规型型与扩展展型一、正规型型分析由Baysseann原则：先验分分布为()时，最最优的决决策规则则是贝叶叶斯规则则,使贝叶叶斯风险险 r(, )= r(,(x)其中：r(,(x)= R(,(x) = l(,(x) = l(,(x) ff(x |)dxx() dd (1) 据据(1)式，选选
10、使r(，)达到极极小，这这就是正正规型的的贝叶斯斯分析。 在在解实际际问题时时，求使使(1)式极小小的(x)往往十十分困难难，尤其其在状态态和观察察值比较较复杂时时，集中的的策略数数目很大大，穷举举所有的的(x)有困难难，且计计算量颇颇大。实实际上可可用下法法：二、扩展型型贝叶斯斯分析(Exttenssivee Foorm Anaalyssis)在(1)式式中因ll(,)-，f(xx)，()均为有有限值。由Fubbinii定理，积积分次序序可换即r(,(x)= l(,(x) ff(x |)dxx() dd = ll(,(x) ff(x |)() dddx (22)显然，要使使(2)式达到到极小，应应当对
