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1、第六章：不等式6.不等式的概念和性质【知识概要】1 不等式的基本性质，2 不等式的性质（1）；（2），；，（3）；，（4），；，； ，；（5）【基础训练】1若，则下列不等式成立的是（C）ABCD2对于，；其中成立的是（D）ABCD3下列命题中为真命题的是（C）A且，则；B且，则；C且，则；D则4若，则、中最小的是。【典型例题】例1已知，求证：证：，又，。例2已知正数、满足，求的最小值。解：当且仅当即时取“”， 例3若，试比较与的大小。解：，例4设且，求的取值范围。解：，设由待定系数得，【思路方法小结】1比较两实数的大小一般用作差法，步骤：作差变形判断符号。利用重要不等式“一正”，“二定”，“三
2、等”缺一不可。判断不等式是否成立，常利用不等式的基本性质、函数的单调性和特值法。习题1若和同时成立，则、必须同时满足的条件是（C）ABCD2下列命题真命题的个数是（B）若，那么已知、都是正数并且，则若、，则的最大值是A3个B2个C1个D0个3若，则下列不等式中正确的是（B）ABCD4若，则（B）ABCD5若，则的取值范围是。6若，则的取值范围是。7已知各项都大于0的等比数列，公比，则与的大小关系是。8已知满足；请将、按由小到大的次序排列，并证明。解：由，由，又，由。9已知、且满足+=，求的最小值解：，当且仅当，即取“”10已知、均为正数且，比较与的大小。解：， 6.2不等式的的证明【知识概要】
3、1比较法（1）差比法：应用范围：多项式、分式、对数式步骤：作差变形判断符号（1）商比法：应用范围：积、幂、指数步骤：作商变形判断商与1的大小2综合法：从已知出发，利用已证明过的不等式为基础借助不等式的性质，推导出要求证明的不等式3分析法：从需要证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件；应用范围：根式，其它方法难证明的。【基础训练】1不等式；，其中恒成立的是（A）ABCD都不正确2设，则以下不等式中不恒成立的是（B）ABCD3若，则与的大小关系是（D）ABCD与的取值有关4与与的大小关系是。【典型例题】例1已知、均为正实数，求证：。证明：当时，当时，例2已知，求证：证明：，例3已知，求证：
4、证明：，同理，例4已知、且，求证：证明：要证，原不等式成立【思想方法小结】1作差法的关键在于变形，变形的方向往往是因式分解，有理化，配方等。2用综合法常见的结论有（1），；（2）若、同号，则，若、异号，则；（3）若、，则；3常常在分析的过程中结合综合法，形成分析综合法习题1若，则（C）ABCD2设、是满足的正数，则的最大值是（C）A50B2C1+D13不等式；其中正确的是（B）ABCD4设，则（A）ABCD5已知，则的最小值为19。6设，则的最小值为1。7若且，则；中不成立的不等式序号是。8设，求证；证明：左右9求证：；证明：要证，上式成立；10要使对所有正数、都成立，试问的最小值是多少？解：
5、；，的最小值是的最小值是6.3不等式的证明（二）【知识概要】1反证法：先假设结论不成立，然后从这个假设出发，经过推理得到矛盾，从而得出所证结果一定成立；2换元法：引进辅助元，把分散的条件联系起来，或把隐含的条件显示出来，或把条件与结论联系起来或转化为熟悉的问题；3放缩法：利用不等式的传递性，作适当放大或缩小；4判别式法：利用一元二次方程的差别式进行证明；5构造法：构造函数用单调性；构造几何图形用数形结合；【基础训练】1设、，则，=，则、三数（C）A至少有一个不大于2B都小于2C至少有一个不小于2D都大于22若，则不等式；中，正确的不等式有（B）A1个B2个C3个D4个3已知，则的最小值是（C）
6、ABCD4在R上定义运算：，若不等式对任意实数成立，则（C）ABCD【典型例题】例1已知、都是正数，且，求证：与中至少有一个小于2。证明：假设与都不小于2，即，与已知矛盾。与中至少有一个小于2。例2已知，求证：证明：设，则又例3设，当时，总有，求证：；证明：，例4已知正实数、，且，求证：证明：构造，在递增；，即不等式成立思想方法小结1要证明的不等式为否定性命题，唯一性命题若含“至多”，“至少”等字句时，可考虑用反证法；2用换元法证时要注意新元的范围；3一般对含两个或两个以上字母的不等式使用综合法无效时，若能整理为某个字母的二次方程可考虑用判别式法；4使用放缩法时，要注意放缩的尺度；习题1设，则
7、是在上恒成立的（B）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2若，则的取值范围是（A）ABCD3已知，则的范围是（D）ABCD4设是上的减函数，且，则下列各式中成立的是（D）ABCD5设、为两个不相等的正数，且，则与的大小关系为。6令，则1（比较与1的大小）。7若不等式对任意正整数恒成立，则实数的取值范围是（A）ABCD8已知，且，求证：证明：当时，9设，且，求证：证明：，而、为方程的两实根而，方程有均大于的两不等实根设则解得10已知，设数列满足，数列满足，（1）用数学归纳法证明：（2）证明：证明（1）当，当时，成立假设时成立，即当成立（2）由（1）6.4不等式的解法【
8、知识概要】1一元一次不等式的解法可先等价变成或的形式，再根据为正、为负、为零的情况分别求解，若，则还要对为正为负或为零来讨论进而求解。2一元二次不等式的解法先等价变成或的形式后，再利用分，三种情况来求解；3简单高次不等式的解法先转换成，再利用数轴标根法写出解的集合。标根法：1）将每一个一次因式的根标在数轴上；2）从右上方依次通过每一点画曲线，奇穿偶不穿；3）写出解集；4分式不等式的解法转化为整式不等式来解：，【基础训练】1已知集合，则为（A）A或B或C或D或 2关于的不等式的解集是（C）ABC或D或3若是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的取值范围是（D）ABCD4不等式的解集是【典型
9、例题】例1解关于的不等式解：变形：当时，变形为解集为当时解集为当时解集为当时当时解集为例2解不等式1）2）解：（1）变形：10246+21041+原不等式的解集为（2）解集为例3解不等式解：变形由标根法得不等式的解集为例4解关于的不等式：解：变形：当时当时当时当时【思想方法小结】1解分式不等式时一般不能直接去分母，采用移项通分；2对于含参数的不等式应注意分类讨论，分类要选好标准，不重不漏，最后还应归纳总结，但解集要分开写，不能写成并集；【习题】1不等式的解集为，则。2下列各式组不等式中同解的是（A）A和B和C和D和3若关于的不等式的解集为，则的值是（B）ABCD不存在4已知集合，不等式的解集是
10、，若则实数的取值范围是（C）ABCD5设关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为6若，则的取值范围是7若不等式的解集为，则28已知关于的不等式的解集为或求不等式的解集解：的要为、是的根9若不等式对满足的所有都成立，求的取值范围解：设由已知：10已知函数（、为常数），且方程有两个实根，1）求函数的解析式；2）设，解关于的不等式：解：1），2），当时当时当时6.5含绝对值的不等式【知识概要】1解含绝对值不等式的指导思想是去掉绝对值转化为有理不等式。常用方法：零点分段法；利用绝对值不等式的性质；平方；2关于绝对值的两个定理及推论定理1：定理2：推论：【基础训练】1已知，命题甲：两实数、满足；命题
11、乙：两实数、满足且，则甲是乙的（B）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2已知集合，则等于（B）ABCD3不等式组的解集为（C）ABCD4不等式解集是。【典型例题】例1解不等式1）2）解：1）或解之得：或原等式的解集为2）当时，当时，当时，综上例2已知，求证：证明：当时，有当时，有综上：例3函数的定义域为且，若对任意不同、的都有，求证：证明：不妨设（1）若，显然成立；（2）若，则综上：例4已知适合不等式的的最大值为3，（1）求的值；（2）若，解关于的不等式解（1），若，则，解不出，则是方程的根（2），当时解集为当时解集为【思想方法小结】1争含绝对值的不等式的实质是去绝对值符号，因而讨论，分区间平方等方法成了解题的关键；2含绝对值不等式的证法和技巧（1）证明方法有：综合法、分析法、反证法、放缩法、三角代换法等；（2）利用不等式的性质和含绝对值不等式的性质、放缩法是常用方法之一；（3）对于不等式左右两边形式完全相同的，可联想函数性质，构造函数再用函数的单调性去证明；【习题】1，恒成立，则的取值范围是（D）ABCD2设、，命题：，命题：|，则是的（A）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3不等式
