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1、第十一讲 三角形全等（二）在上一讲中，我们已经讲授了三角形全等的基本知识。今天我们着重结合以下几类问题对三角形进行深入研究：角平分线、等边三角形、等腰三角形、直角三角形。同学们在这一讲中要注意吸收两个经验：一是已知条件（角平分线、等角、等边、等腰、直角、等腰直角）是如何与全等结合在一起运用的，总结相应的辅助线画法；二是题目所需要证明的结论（边的相等、一边等于另外两边的和、角度相等）是如何得出的。一、例题第一部分：角平分线例1. （）如图所示，AD平行于BC，AD=4，BC=2，那么AB=_.【分析与解答】：过E做EF交AB于F，使AFAD，易证ADEAFE；EFBEBC则ABADBC6.例2.
2、 （）ABC中，C=2B，1=2，求证：AB=AC+CD. 【分析与证明】：（角平分线、线段证明）提示延长AC到E，使AE=AB，连接DE。有ABDAED故B=E，又E=2B E=CDE，CE=CD即AB=AC+CD。（此题方法很多，可补充）第二部分：等边、等腰、中点例3. （）如图所示，C在线段AB上，在AB的同侧作等边三角形和，连接AN，BM，若，则求.【分析与解答】：等边三角形易证ACNMCB，且由MC/NB得到CMB38，则CANCMB38，而ACN120，则ANC1801203822；则ANB602288.例4. （）正三角形ABC中，P为AB中点，Q为AC中点，R为BC中点，M为R
3、C上任一点，MSP为正三角形，求证RM=QS 【分析与证明】：（等边三角形、中点、线段相等）ABC为正三角形，P，R，Q为AB，BC，CA边上的中点，连接PQ，PR，E PQ=PR=AB，QPR=60。又PMS为正三角形，所以PM=PS，MPS=60RPM=RPQ-MPQ=60-MPQ。QPS=MPS-MPQ=60-MPQ RPM=QPS RPMQPS RM=QS例5. （）点M，N在等边三角形ABC的AB边上运动，BD=DC，BDC=120，MDN=60，求证MN=MB+NC。 【分析与证明】：（旋转、等腰三角形、等边三角形、线段证明）延长NC至E，使得CE=MB BDC是等腰三角形，且BD
4、C=120DBC=DCB=30 ABC是等边三角形。ABC=ACB=BAC=60MBD=ABC+DBC=ACB+DCB =DCN=DCE=90在RtDBM和RtDCE中，BD=DC,MB=CE， RtDMBRtDCE. DE=DM, 1=2.又 1+NDC=60 2+NDC=END=60.在MDN与EDN中，ND=ND，MDN=EDN=60，DE=DM MNDEND MN=EN=NC+MB例6. （）已知ABC，B=C，D，E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G，求证GD=GE. 【分析与证明】：（等腰三角形、线段相等）（一）过E作EFAB，交BC的延长线于F，则
5、B=F3=4 3=B 4=FCE=EF 在GEF与GDB中，GFEGBD DG=DE证明（二） 过D，E分别作直线DKCB，EFCB1=2 2=B 1=B又 BD=CE RtBDKCEF DK=EF又3=4。RtDKGRtEFGGD=GE证明（三） 过D作DKAC交BC于K，则1=E，4=6 ，5=7，又5=B，7=8 BD=DK=CE在KDG与CEG中， KDGCEG DG=EG证明（四） 过D 点作DKAC交BC于K过D 点作DFBC交AC于F 四边形DKCF是开行四边形 DK=FC 1=CC=B 1=BDB=DK=CE=CFC是EF中点，BCDFG是DE中点，DG=EG注（此题还有他法，
6、可补充）例7. （）已知ABC中，AB=AC，BD为AB的延长线，且BD=AB，CE为ABC的AB边上的中线。求证CD=2CE 【分析与证明】：（等边、中点、线段倍数）（一）延长CE到K，使CE=EK，连接BK AECBEK AC=BK=BDA=3AB=AC 5=ACBKBC=3+5=A+ACB=4BC=BC CKBCDB CK=CD 2CE=CD证法（二）过B点作BDAC交CD于OAB=BD CD=ODOBACBE=AB=AC BE=OBAB=AC 2=ACBOBAC 3=ACB2=3 BC=BCCEBCOBCE=CO 2CE=2OC=CD证法（三）延长BC到K，使BC=CKAB=AC 1=
7、ACB 2=3AC=AB=BD CBDKCACD=AKC，E分别是BK，AB中点，CEAK2CE=CD例8. （）如图所示，是边长为1的正三角形，是顶角为120度的等腰三角形，以D为顶点作一个60度的，点M，N分别在AB，AC上，则的周长是多少？【分析与解答】：等边三角形、等腰三角形、角平分线.过D做DE交BC边为E，使得BEBM；过D做DF交BC边为F，使得CFCN；易证DBEDBM，DCFDCN；则有DEDM，DFDN；MDB=BDE，NDC=FDC；又因为MDN60，BDC120，则MDBNDC180；EDC=120BDE=120MDB；BDF=120FDC=120NDC；EDCBDF2
8、40MDBNDC60；因此FDE60，则FDEMDN，的周长为1.第三部分：直角三角形例9. （）如图所示，在中，于D，的角平分线交AD与F，交AB于E，FG平行于BC交AB于G. AE=4，AB=14，则BG=_.【分析与解答】：角平分线、直角.过E作EH垂直BC交BC于H点，易证AECEHC；由角度分析易知AEF=AFE，即AEAF；则有EHEAAF；又可证AGFBHE，则AGEB14410，则BG1064.例10. （）如图所示，已知在等腰直角三角形ABC中，是直角，D是AC上一点，AE的延长线交BC于F，若，求证：D是AC的中点。【分析与解答】：等腰直角三角形、全等过C作CH垂直于AC
9、交AF延长线于H点；易证ABDAHC，HCAD；进而证明FHCFDC，得到HCCD，则D为AC中点.例11. （）ABC中，D是BC的中点，DEDF，试判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的的结论。 【分析与证明】：（中点、直角三角形、线段证明）延长FD到G，使得DG=DF连接FG，BG，EG AD为ABC中线， BD=CD在BDG中和CDF中，BDGCDFBD=CF又DEDF EDG=EDF=90在EDG和EDF中 EDGEOFEG=EF在BEG中，EGBE+BG即EFBE+CF例12. （）如图所示，在中，AD是BC边上的中线，点M在AB边上，点N在AC边上，并且。已知，求证：。【分析
10、与证明】：直角三角形、中点延长ND至E，使得NDDE，连接BE，ME；易证NDCBED，BENC，进而证明MDNMDE，MNME；再由，可得MBE=90；则BAC=90，问题得证.二、练习题 1（）已知两线段AC和BD互相平行且相等，AB、CD交于O，过O作一线EF分别交AC于E，交BD于F ，求证：OE=OF 【分析与证明】：先证明AOCBOD，再证明AOEFOB或COEDOF；2 ()如图所示，AD是的角平分线，DE、DF分别是的高，则等于_.【分析与解答】：易证AEDADC，DEF为等腰三角形.又由，则EDF18040140度，则BAC360909014040度.3（）已知ABC为等边三
11、角形，延长BC于D，延长BA到E，使AE=BD，连接CE，DE，求证CE=DE 【分析与证明】：延长BD到F，使DFAB，连接EF；易证BEF为等边三角形；进而证明BCEDEF；于是得到CEDE.4（）已知ABC中，AB=AC，GE过A且GEBC，B的平分线与AC和GE分别交于D，E，C的平分线与AB和GE分别交于F，G。求证DE=FG. 【分析与证明】：先证ABEAGC，得到GCBE；再证BFCBDC，得到FCBD；得到DEFG.5 （）如图所示，在Rt三角形ABC中，于H，AG平分，交CH于D，交BC于G，在BC上取BE=CG，连接ED，证明：是直角三角形。【分析与解答】：直角三角形、角平分线过G做GF垂直AB于F；由角的关系易得CDG=CGD，即CGCD；易证ACGAFG；CGGFCD；CEGB，HCB=FGB；综合得到，CGEGFB，得证.
