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1、第十一讲 三角形全等(二)在上一讲中,我们已经讲授了三角形全等的基本知识。今天我们着重结合以下几类问题对三角形进行深入研究:角平分线、等边三角形、等腰三角形、直角三角形。同学们在这一讲中要注意吸收两个经验:一是已知条件(角平分线、等角、等边、等腰、直角、等腰直角)是如何与全等结合在一起运用的,总结相应的辅助线画法;二是题目所需要证明的结论(边的相等、一边等于另外两边的和、角度相等)是如何得出的。一、例题第一部分:角平分线例1. ()如图所示,AD平行于BC,AD=4,BC=2,那么AB=_.【分析与解答】:过E做EF交AB于F,使AFAD,易证ADEAFE;EFBEBC则ABADBC6.例2.
2、 ()ABC中,C=2B,1=2,求证:AB=AC+CD. 【分析与证明】:(角平分线、线段证明)提示延长AC到E,使AE=AB,连接DE。有ABDAED故B=E,又E=2B E=CDE,CE=CD即AB=AC+CD。(此题方法很多,可补充)第二部分:等边、等腰、中点例3. ()如图所示,C在线段AB上,在AB的同侧作等边三角形和,连接AN,BM,若,则求.【分析与解答】:等边三角形易证ACNMCB,且由MC/NB得到CMB38,则CANCMB38,而ACN120,则ANC1801203822;则ANB602288.例4. ()正三角形ABC中,P为AB中点,Q为AC中点,R为BC中点,M为R
3、C上任一点,MSP为正三角形,求证RM=QS 【分析与证明】:(等边三角形、中点、线段相等)ABC为正三角形,P,R,Q为AB,BC,CA边上的中点,连接PQ,PR,E PQ=PR=AB,QPR=60。又PMS为正三角形,所以PM=PS,MPS=60RPM=RPQ-MPQ=60-MPQ。QPS=MPS-MPQ=60-MPQ RPM=QPS RPMQPS RM=QS例5. ()点M,N在等边三角形ABC的AB边上运动,BD=DC,BDC=120,MDN=60,求证MN=MB+NC。 【分析与证明】:(旋转、等腰三角形、等边三角形、线段证明)延长NC至E,使得CE=MB BDC是等腰三角形,且BD
4、C=120DBC=DCB=30 ABC是等边三角形。ABC=ACB=BAC=60MBD=ABC+DBC=ACB+DCB =DCN=DCE=90在RtDBM和RtDCE中,BD=DC,MB=CE, RtDMBRtDCE. DE=DM, 1=2.又 1+NDC=60 2+NDC=END=60.在MDN与EDN中,ND=ND,MDN=EDN=60,DE=DM MNDEND MN=EN=NC+MB例6. ()已知ABC,B=C,D,E分别是AB及AC延长线上的一点,且BD=CE,连接DE交底BC于G,求证GD=GE. 【分析与证明】:(等腰三角形、线段相等)(一)过E作EFAB,交BC的延长线于F,则
5、B=F3=4 3=B 4=FCE=EF 在GEF与GDB中,GFEGBD DG=DE证明(二) 过D,E分别作直线DKCB,EFCB1=2 2=B 1=B又 BD=CE RtBDKCEF DK=EF又3=4。RtDKGRtEFGGD=GE证明(三) 过D作DKAC交BC于K,则1=E,4=6 ,5=7,又5=B,7=8 BD=DK=CE在KDG与CEG中, KDGCEG DG=EG证明(四) 过D 点作DKAC交BC于K过D 点作DFBC交AC于F 四边形DKCF是开行四边形 DK=FC 1=CC=B 1=BDB=DK=CE=CFC是EF中点,BCDFG是DE中点,DG=EG注(此题还有他法,
6、可补充)例7. ()已知ABC中,AB=AC,BD为AB的延长线,且BD=AB,CE为ABC的AB边上的中线。求证CD=2CE 【分析与证明】:(等边、中点、线段倍数)(一)延长CE到K,使CE=EK,连接BK AECBEK AC=BK=BDA=3AB=AC 5=ACBKBC=3+5=A+ACB=4BC=BC CKBCDB CK=CD 2CE=CD证法(二)过B点作BDAC交CD于OAB=BD CD=ODOBACBE=AB=AC BE=OBAB=AC 2=ACBOBAC 3=ACB2=3 BC=BCCEBCOBCE=CO 2CE=2OC=CD证法(三)延长BC到K,使BC=CKAB=AC 1=
7、ACB 2=3AC=AB=BD CBDKCACD=AKC,E分别是BK,AB中点,CEAK2CE=CD例8. ()如图所示,是边长为1的正三角形,是顶角为120度的等腰三角形,以D为顶点作一个60度的,点M,N分别在AB,AC上,则的周长是多少?【分析与解答】:等边三角形、等腰三角形、角平分线.过D做DE交BC边为E,使得BEBM;过D做DF交BC边为F,使得CFCN;易证DBEDBM,DCFDCN;则有DEDM,DFDN;MDB=BDE,NDC=FDC;又因为MDN60,BDC120,则MDBNDC180;EDC=120BDE=120MDB;BDF=120FDC=120NDC;EDCBDF2
8、40MDBNDC60;因此FDE60,则FDEMDN,的周长为1.第三部分:直角三角形例9. ()如图所示,在中,于D,的角平分线交AD与F,交AB于E,FG平行于BC交AB于G. AE=4,AB=14,则BG=_.【分析与解答】:角平分线、直角.过E作EH垂直BC交BC于H点,易证AECEHC;由角度分析易知AEF=AFE,即AEAF;则有EHEAAF;又可证AGFBHE,则AGEB14410,则BG1064.例10. ()如图所示,已知在等腰直角三角形ABC中,是直角,D是AC上一点,AE的延长线交BC于F,若,求证:D是AC的中点。【分析与解答】:等腰直角三角形、全等过C作CH垂直于AC
9、交AF延长线于H点;易证ABDAHC,HCAD;进而证明FHCFDC,得到HCCD,则D为AC中点.例11. ()ABC中,D是BC的中点,DEDF,试判断BE+CF与EF的大小关系,并证明你的的结论。 【分析与证明】:(中点、直角三角形、线段证明)延长FD到G,使得DG=DF连接FG,BG,EG AD为ABC中线, BD=CD在BDG中和CDF中,BDGCDFBD=CF又DEDF EDG=EDF=90在EDG和EDF中 EDGEOFEG=EF在BEG中,EGBE+BG即EFBE+CF例12. ()如图所示,在中,AD是BC边上的中线,点M在AB边上,点N在AC边上,并且。已知,求证:。【分析
10、与证明】:直角三角形、中点延长ND至E,使得NDDE,连接BE,ME;易证NDCBED,BENC,进而证明MDNMDE,MNME;再由,可得MBE=90;则BAC=90,问题得证.二、练习题 1()已知两线段AC和BD互相平行且相等,AB、CD交于O,过O作一线EF分别交AC于E,交BD于F ,求证:OE=OF 【分析与证明】:先证明AOCBOD,再证明AOEFOB或COEDOF;2 ()如图所示,AD是的角平分线,DE、DF分别是的高,则等于_.【分析与解答】:易证AEDADC,DEF为等腰三角形.又由,则EDF18040140度,则BAC360909014040度.3()已知ABC为等边三
11、角形,延长BC于D,延长BA到E,使AE=BD,连接CE,DE,求证CE=DE 【分析与证明】:延长BD到F,使DFAB,连接EF;易证BEF为等边三角形;进而证明BCEDEF;于是得到CEDE.4()已知ABC中,AB=AC,GE过A且GEBC,B的平分线与AC和GE分别交于D,E,C的平分线与AB和GE分别交于F,G。求证DE=FG. 【分析与证明】:先证ABEAGC,得到GCBE;再证BFCBDC,得到FCBD;得到DEFG.5 ()如图所示,在Rt三角形ABC中,于H,AG平分,交CH于D,交BC于G,在BC上取BE=CG,连接ED,证明:是直角三角形。【分析与解答】:直角三角形、角平分线过G做GF垂直AB于F;由角的关系易得CDG=CGD,即CGCD;易证ACGAFG;CGGFCD;CEGB,HCB=FGB;综合得到,CGEGFB,得证.