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1、第5章 参数估计1. 从一个标准差为5的总体中抽出一个容量为40的样本，样本均值为25。（1） 样本均值的抽样标准差等于多少？（2） 在95%的置信水平下，允许误差是多少？解：已知总体标准差=5，样本容量n=40，为大样本，样本均值=25，（1）样本均值的抽样标准差=0.7906（2）已知置信水平1=95%，得 =1.96，于是，允许误差是E =1.960.7906=1.5496。2.某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期3周的时间里选取49名顾客组成了一个简单随机样本。（3） 假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差；（4） 在95%的置信水平下，求允许误差；（5） 如果
2、样本均值为120元，求总体均值95%的置信区间。解：（1）已假定总体标准差为=15元， 则样本均值的抽样标准误差为 =2.1429（2）已知置信水平1=95%，得 =1.96，于是，允许误差是E =1.962.1429=4.2000。（3）已知样本均值为=120元，置信水平1=95%，得 =1.96， 这时总体均值的置信区间为 =1204.2=可知，如果样本均值为120元，总体均值95%的置信区间为（115.8，124.2）元。3.某大学为了解学生每天上网的时间，在全校7500名学生中采取不重复抽样方法随机抽取36人，调查他们每天上网的时间，得到下面的数据（单位：小时）： 3.33.16.25
3、.82.34.15.44.53.24.42.05.42.66.41.83.55.72.32.11.91.25.14.34.23.60.81.54.71.41.22.93.52.40.53.62.5 求该校大学生平均上网时间的置信区间，置信水平分别为90%、95%和99%。解：计算样本均值：将上表数据复制到Excel表中，并整理成一列，点击最后数据下面空格，选择自动求平均值，回车，得到=3.316667，计算样本方差s：删除Excel表中的平均值，点击自动求值其它函数STDEV选定计算数据列确定确定，得到s=1.6093 也可以利用Excel进行列表计算：选定整理成一列的第一行数据的邻列的单元格
4、，输入“(a7-3.316667)2”，回车，即得到各数据的离差平方，在最下行求总和，得到： =90.65再对总和除以n-1=35后，求平方根，即为样本方差的值s=1.6093。计算样本均值的抽样标准误差： 已知样本容量 n=36，为大样本，得样本均值的抽样标准误差为 =0.2682分别按三个置信水平计算总体均值的置信区间： 置信水平为90%时：由双侧正态分布的置信水平1=90%，通过21=0.9换算为单侧正态分布的置信水平=0.95，查单侧正态分布表得 =1.64， 计算得此时总体均值的置信区间为=3.31671.640.2682= 可知，当置信水平为90%时，该校大学生平均上网时间的置信区
5、间为（2.87，3.76）小时； 置信水平为95%时：由双侧正态分布的置信水平1=95%，得 =1.96， 计算得此时总体均值的置信区间为=3.31671.960.2682= 可知，当置信水平为95%时，该校大学生平均上网时间的置信区间为（2.79，3.84）小时； 置信水平为99%时：若双侧正态分布的置信水平1=99%，通过21=0.99换算为单侧正态分布的置信水平=0.995，查单侧正态分布表得 =2.58， 计算得此时总体均值的置信区间为=3.31672.580.2682= 可知，当置信水平为99%时，该校大学生平均上网时间的置信区间为（2.62，4.01）小时。4. 从一个正态总体中随
6、机抽取容量为8 的样本，各样本值分别为：10,8,12,15,6,13,5,11。求总体均值95%的置信区间。解：（7.1,12.9）。5.某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离，抽取了由16个人组成的一个随机样本，他们到单位的距离（公里）分别是： 10 3 14 8 6 9 12 11 7 5 10 15 9 16 13 2 求职工上班从家里到单位平均距离95%的置信区间。解：（7.18,11.57）。6. 在一项家电市场调查中，随机抽取了200个居民户，调查他们是否拥有某一品牌的电视机。其中拥有该品牌电视机的家庭占23%。求总体比率的置信区间，置信水平分别为90%和95%。解：已知样本
7、容量n =200，为大样本，拥有该品牌电视机的家庭比率p =23%，拥有该品牌电视机的家庭比率的抽样标准误差为 =2.98%双侧置信水平为90%时，通过21=0.90换算为单侧正态分布的置信水平=0.95，查单侧正态分布表得 =1.64， 此时的置信区间为 =23%1.642.98%=可知，当置信水平为90%时，拥有该品牌电视机的家庭总体比率的置信区间为（18.11%，27.89%）。双侧置信水平为95%时，得 =1.96， 此时的置信区间为 =23%1.962.98%=可知，当置信水平为95%时，拥有该品牌电视机的家庭总体比率的置信区间为；（17.16%，28.84%）。7.某居民小区共有居
8、民500户，小区管理者准备采取一项新的供水设施，想了解居民是否赞成。采取重复抽样方法随机抽取了50户，其中有32户赞成，18户反对。（1）求总体中赞成该项改革的户数比率的置信区间，置信水平为95%；（2）如果小区管理者预计赞成的比率能达到80%，应抽取多少户进行调查？解： 已知总体单位数N=500，重复抽样，样本容量n =50，为大样本，样本中，赞成的人数为n1=32，得到赞成的比率为 p = =64%（1）赞成比率的抽样标准误差为 =6.788%由双侧正态分布的置信水平1=95%，得 =1.96， 计算得此时总体户数中赞成该项改革的户数比率的置信区间为 = 64%1.966.788%=可知，
9、置信水平为95%时，总体中赞成该项改革的户数比率的置信区间为（50.70%,77.30%）。（2）如预计赞成的比率能达到80%，即 p=80%， 由 =6.788%，即=6.788% 得样本容量为 n = 34.72 取整为35，即可得，如果小区管理者预计赞成的比率能达到80%，应抽取35户进行调查。8.从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本，它们的均值和标准差如下表：来自总体1的样本来自总体2的样本（1） 求90%的置信区间；（2） 求95%的置信区间。解：（1.86,17.74）；（0.19,19.41）。9.从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本，它们的均值和标准差如下表：来自总
10、体1的样本来自总体2的样本（1）设，求95%的置信区间；（2）设，求95%的置信区间；（3）设，求95%的置信区间；（4）设，求95%的置信区间；（5）设，求95%的置信区间。解：（1）21.176；（2）23.986；（3）23.986；（4）23.587；（5）23.364。10.下表是由4对观察值组成的随机样本：配对号来自总体A的样本来自总体B的样本1202573106485（1）计算A与B各对观察值之差，再利用得出的差值计算和；（2）设和分别为总体A和总体B的均值，构造95%的置信区间。解：（1），；（2）1.754.27。11.从两个总体中各抽取一个的独立随机样本，来自总体1的样本比
11、率为，来自总体2的样本比率为。（1）构造90%的置信区间；（2）构造95%的置信区间。解：（1）10%6.98%；（2）10%8.32%。12.生产工序的方差是共需质量的一个重要度量。当方差较大时，需要对共需进行改进以减小方差。下面是两部机器生产的袋茶重量（克）的数据：机器1机器23.453.223.903.223.283.353.202.983.703.383.193.303.223.753.283.303.203.053.503.383.353.303.293.332.953.453.203.343.353.273.163.483.123.283.163.283.203.183.253.3
12、03.343.25构造两个总体方差比95%的置信区间。解：（4.06,14.35）。13.根据以往的生产数据，某种产品的废品率为2%。如果要求95%的置信区间，若要求允许误差不超过4%，应抽取多大的样本？解：已知总体比率=2%=0.02，由置信水平1-=95%，得置信度=1.96，允许误差E 4%即由允许误差公式 E=整理得到样本容量n的计算公式：n=47.0596 由于计算结果大于47，故为保证使“”成立，至少应取48个单位的样本。14.某超市想要估计每个顾客平均每次购物花费的金额。根据过去的经验，标准差大约为120元，现要求以95%的置信水平估计每个购物金额的置信区间，并要求允许误差不超过20元，应抽取多少个顾客作为样本？解：已知总体标准差=120，由置信水平1-=95%，得置信度=1.96，允许误差E 20即由允许误差公式 E=整理得到样本容量n的计算公式： n=138.2976由于计算结果大于47，故为保证使“”成立，至少应取139个顾客作为样本。15.假定两个总体的标准差分别为：，若要求误差范围不超过5，相应的置信水平为95%，假定，估计两个总体均值之差时所需的样本容量为多大？ 解： 57。 16.假定，允许误差，相应的置信水平为95%，估计两个总体比率之差时所需的样本容量为多大？解： 769。
