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1、九年级数学下册知识点归纳第一章直角三角形边的关系一.锐角三角函数1. 正切：定义：在RtABC中，锐角/A的对边与邻边的比叫做/A的正切，记作tanA,即 tan A = tanA是一个完整的符号，它表示/A的正切，记号里习惯省去角的符号/ ； tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中/A的对边与邻边的比； tanA不表示“tan乘以“A； 初中阶段,我们只学习直角三角形中，ZA是锐角的正切； tanA的值越大，梯子越陡,/A越大；ZA越大，梯子越陡,tanA的值越大.2. 正弦： 定义：在RtABC中，锐角/A的对边与斜边的比叫做/A的正弦，记作sinA,即血二的对边一 斜边3. 余
2、弦:定义：在RtABC中，锐角/A的邻边与斜边的比叫做/A的余弦，记作cosA,即cos A =的邻边 斜边锐角A的正弦、余弦和正切都是/A的三角函数当锐角A变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化.二.特殊角的三角函数值30 45 60 sin aj_2412V32cos a查2212tan a亟31J3铅虞E ;-MX 17 2? A4一二 L 的2.的3.度或减小而增大或减小；余弦值随着角度的增大或减而减小或增大.0sin a 1, OWcos a 1.4. 坡度：如图2,坡面与水平面的夹角叫做圾角圾角的无切称为圾废.用字母i表示，即5. 方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的
3、水平角，叫做方方角.如图3,0A、OB、0C的方位角分别为45、135、225北A图3376. 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，叫做方向角.如图4,OA、OB、北. . .OC、OD的方向角分别是；北偏东30 ,南偏东45 v东南方向*南偏曲7. 同角的三角函数间的关系： 互余关系 sinA=cos90 A、cosA=sin平方关系：1商数关系:8. 解直角三角形：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角.由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形须知一条边.9. 直角三角形变焦关系：，血且在左ABC中，/C为直角
4、，/A、ZB. /C所对 一由 的边分别为a、b、c,则有三边之间的关系：a2+b2=c2；两锐角的关系：ZA+ZB=90 ；边与角之间的关系：面积公式：S.=-ab = -Chch.为C边上的高;A 22a + b-c直角三角形的内切圆半径r =直角三角形的外接圆半径R = -c2210. 三角函数的应用11. 利用三角函数测高第二章二次函数1. 概念：一般地，假设两个变量X,y之间对应关系可以表示成y = ax2 +笊+。的形式，则称y是X的r欢函规自变量X的取值X围是全体实数.在写二次函数的关系式时,一定要寻找两个变量之间的等量关系，列出相应的函数关系式,并确定自变量的取值X围. .2.
5、 图像性质：二次函数y=ax2 的图象：是一条顶点在原点且关于y轴对称的抛物线.y = ax2a。0是二次函 y = ax2 +bx + c的特例，此时常数b=c=o.2抛物线的描述：开口方向、对称性、y随x的变化情况、抛物线的最高或最低点、抛物线与x轴的交点. 函数的取值X围是全体实数； 抛物线的顶点在,对称轴是y轴或称直线x = 0. 当a0时，抛物线开口向上,并且向上方无限伸展.当aVO时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展. 函数的增减性：A、当a0时牡0时,N随对曾大而减小;卜 0时,N随X增大而增大B、当aV0时时,丫随对曾大而增大； 0时,y随对曾大而减小 当I a |越大，抛物
6、线开口越小；当I a |越小,抛物线的开口越大. 最大值或最小值：当a0,且x = 0时函数有最小值，最小值是0；当a =2 +。的图象：是一条顶点在y轴上且与y轴对称的抛物线，二次函数y = 52 + C的图象中,a的符号决定抛物线的开口方向，|a |决定抛物线的开口程度大小,c决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低. 二次函数y = ax2 + bx+。的图象：是以直线尤=上 为对称轴，顶点坐标为_2,如-b2 2a2a4a的抛物线.开口方向和大小由a来决定|a|的越大，抛物线的开口程度越小,越靠近对称轴y轴,y随x增长或下降速度越快；|a|的越小，抛物线的开口程度越大,越远离对称轴y轴
7、,y随x增长或下降速度越慢. 二次函数y = ax2 + bx + C的图象与y=ax2的图象的关系：y = ax2 + bx + c的图象可以由y=ax2的图象平移得到：利用顶点坐标 二次函数y = ae - h2 + k的图象：是以直线x=h为对称轴，顶点坐标为h,k的抛物线.开口方向和大小由a来决定7二次函数y = ax2 + bx + c的性质：二次函数y = 52 + bx+。配方成y = qx+_L2 +竺二则抛物线的2a4ab 对称轴：x= 2a 顶点坐标：,4ac-b22a4a 增减性：假设a0,当x 上时,y随x的增大而增大.2a 2a bb假设a_时,y随x的增大而减小.2
8、a 2a_b4。一 b 2b4ac- b2 最值：右a0,则当x= 时，V最小=;假设a0,则当x= 时，y最大=2a最4a2a最大 4a3. 确定二次函数的表达式：待定系数法1一般式：y = ax2 + bx+。顶点式：y =ae -h2+k2交点式：y=a4. 二次函数的应用：几何方面应用题5. 二次函数与一元二次方程1二次函数y = ax2 + bx + c的图象o 抛物线与x轴有2个交点；b2 - 4ac =0 抛物线与x轴有1个交点；Z?2 -4ac 0 抛物线与x轴有0个交点无交点； 当。2 -4ac o时，设抛物线与x轴的两个交点为A、B,则这两个点之间的距离:. vZ?2 -4
9、ac化间后即为：IA8I=b -4ac 0这就是抛物线与x轴的两交点之间的距离公式.I a I第三章圆1. 圆的定义：描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆；固定的端点O叫做圆心；线段OA叫做半径；以点O为圆心的圆，记作O,读作圆O集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合.其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆.对圆的定义的理解：圆是一条封闭曲线，不是圆面；圆由两个条件唯一确定：一是圆心即定点，二是半径即定长.2. 点与圆的位置关系与其数量特征：如果圆的半径为r,点
10、到圆心的距离为d,则 点在圆上 d=r; 点在圆内 dr; 点在圆外 dr.其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明假设干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等.3. 圆的对称性：1与圆相关的概念： 弦和直径：弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径. 弧、半圆、优弧、劣弧：孤：圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称孤，用符号表示，以CD为端点的孤记为 -，读作圆弧CD或孤CD .半圆：直径的两个端点分圆成两条孤，每一条孤叫做半圆.优孤：大于半圆的孤叫做优孤.劣孤：小于半圆的孤叫做劣孤.为了区别优孤和劣孤，优孤用三个字母表示. 弓形：弦与所对的孤组成的图形叫做弓
11、形. 同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆. 等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的孤叫做等孤. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.2圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴.圆是中心对称图形,对称中心为圆心.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.4. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条
12、弧.推论：平分一般弦不是直径的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论.5. 圆周角和圆心角的关系：1圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫做圆周角.2圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的的圆心角度数的一半.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.推论2:直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径；3圆内接四边形：假设四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的
13、对角互补；6确定圆的条件：1理解确定一个圆必备两个条件：圆心和半径，圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小.经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆，其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.2经过三点作圆要分两种情况： 经过同一直线上的三点不能作圆. 经过不在同一直线上的三点，能且仅能作一个圆.定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆.尺规作图7. 三角形的外接圆、三角形的外心.三角形的外接圆：经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆.三角形的外心：三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.三角形的外心的性质：三角形外心到三顶点的距离相等.8. 直线与圆的位置关系相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线.相切：直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，惟一的公共点做切点.相
