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1、矩阵对角化方法探讨摘 要： 本文利用矩阵的相关知识,研究了矩阵可对角化的若干方法.关键词： 可对角化;对角化方法;特征值;特征向量1 引言 形式最简单的矩阵就是对角阵.矩阵对角化使矩阵论的重要组成部分,在矩阵论中占有重要的作用,研究矩阵对角化问题很有实用价值,矩阵对角化是线性变换和化二次型到主轴上问题中经常遇到并需要解决的一个关键问题,然而并非任何一个阶矩阵都可以对角化.本文利用矩阵的相关知识,如矩阵秩的知识,矩阵乘法原理,对一些理论进行应用和举例,介绍了矩阵对角化的四种方法,分别是一般方法;用矩阵初等变换将矩阵对角化的方法;利用矩阵乘法运算,探讨矩阵对角化的方法;利用循环矩阵的性质寻找矩阵对
2、角化的方法.2 基本定义定义1 设是阶方阵,如果存在数和维非零向量,使得则称是矩阵的一个特征值, 是的属于的一个特征向量.定义2 设为阶方阵,称行列式为的特征多项式,记为,而称为的特征方程. 定义3 阶方阵称为可逆的,如果存在阶方阵,使得,其中是阶单位矩阵.定义 4 设,是阶方阵,若存在阶可逆矩阵,使得,则称与相似,称为的相似矩阵. 定义 5 如果数域上,对级矩阵存在一个可逆矩阵使为对角形矩阵,则称矩阵在数域上可对角化;当可对角化时,我们说将对角化,即指求可逆矩阵使为对角形矩阵. 3 矩阵对角化的几种方法3.1 一般方法 几个定理定理 阶方阵相似于对角矩阵的充分必要条件是由个线性无关的特征向量
3、,且当相似于对角矩阵时,的主对角线元素就是的全部特征值.推论1 方阵相似于对角矩阵的充分必要条件是的属于每个特征值的线性无关的特征向量个数正好等于该特征值的重数.定理 如果阶方阵有个互不相同的特征值（即的特征值都是单特征值）,则必相似于对角矩阵. 求阶方阵的特征值与特征向量的一般步骤.第一步：计算特征多项式 第二步：求出特征方程的全部根（重根按重数计算）,则 就是的全部特征值. 如果为特征方程的单根,则称为的单特征根;如果为特征方程的重根,则称为的重特征值,并称为的重数. 第三步：对的相异特征值中的每个特征值,求出齐次线性方程的一个基础解系,则 就是对应于特征值的特征空间的一个基,而的属于的全
4、部特征向量为 （其中为不全为的任意常数） 如果阶方阵相似于对角矩阵,则的相似对角化的一般步骤如下: 第一步：求出的全部特征值;第二步：对的相异特征值中的每个特征值,求出齐次线性方程组 的一个基础解系,将所有这样的基础解系中的向量合在一起,假定这样的向量共有个,它们就是的个线性无关的特征向量;第三步：令矩阵=,则有,其中是属于特征值的特征向量.注意的列向量的排列次序于与对角矩阵的主对角线元素的排列次序相一致.如图1所示： 图1 阶方阵的相似对角化过程 应用实例例1 设矩阵=当取何值时,相似于对角矩阵?在可对角化时,求可逆矩阵,使成对角矩阵.解 先求的特征值,由 = = = ，得的全部特征值为.
5、只有一个重特征值-1,故由定理1的推论,可对角化属于2重特征值-1的线性无关特征向量正好有2个齐次线性方程组的基础解系含2个解向量而矩阵的秩为1当且仅当,故当且仅当时可对角化.当时,矩阵为= .计算可得的对应于特征值的线性无关特征向量可取为，对应于的特征值的特征向量可取为.故所求的可逆矩阵可取为,它使得.注当有个互不相同的特征值时,必可对角化;当有重特征值时,可对角化的属于每个重特征值的线性无关特征向量的个数正好等于该特征值的重数对于的每个重特征值（设的重数为）,矩阵的秩为.3 用矩阵初等变换将矩阵对角化的方法 理论依据若矩阵在数域上可对角化,则有上可逆矩阵使为对角形矩阵.于是的主对角线上的元
6、素为的全体特征值,并且可表示为,其中为初等矩阵,.于是,又也是初等矩阵,由初等矩阵与矩阵的初等变换的关系,即知相当于对施行了一次初等行变换与一次初等列变换.这里,我们称此种初等变换为对施行了一次相似变换. 显然,可对施行一系列的相似变换化为. 又由（注：此处表单位矩阵）可如下进行初等变换,则可将化为对角形矩阵,且可求得 ,对只施行相应的初等列变换. 当不可对角化时,也可经相似变换化简后,求得其特征值,判定它可否对角化. 类似地,可由,做如下初等变换,则可将化为对角形矩阵,且可求得或由求的特征值,判定可否对角化： ,对只施行相应的初等行变换.并且在施行相似变换时,不必施行一次行变换后接着施行一次
7、列变换这样进行,可施行若干次行（或列）变换后再施行若干次相应的列（或行）变换,只要保持变换后,最后所得矩阵与相似即可.用初等变换将矩阵对角化的方法有个特征单根的阶可对角化矩阵的对角化方法引理1 设是秩为的阶矩阵,且其中是秩为的列满秩矩阵,则矩阵所含的个列向量就是齐次线性方程组的一个基础解系.证明 设,对以列的初等变换相当于右乘一阶初等矩阵. 设其中是一个阶可逆矩阵,是一个阶矩阵,令是矩阵的列向量.由线性无关,且所以,是方程的个线性无关的解向量.又的秩为,则上述的个向量正是该齐次线性方程组的一个基础解系.引理 -矩阵经列的初等变换可化为下三角的-矩阵,且的主对角线上元素乘积的多项式的根恰为的所有
8、特征根.引理 令是数域上一个阶矩阵,如果的特征多项式在内有个单根,那么由特征列向量构成的阶可逆矩阵,使.定理1 如果数域上的阶矩阵的特征多项式在内有个单根,则可通过如下步骤对角化:设,且.其中为下三角矩阵,则主对角线上全部元素乘积的多项式的全部特征根为的全部特征根,对的每一特征根,中零向量所对应的中的列向量是属于的全部线性无关的特征向量.把属于的特征向量作为列向量组合构成矩阵,使 .证明 易知中非零向量的列构成列满秩矩阵,由引理1,2及引理3知结论成立.例1 设 =.问是否可对角化?若可以对角化,求可逆矩阵,使得成对角形.解 .由解得的特征值,此时3阶矩阵有3个不同的单根,故可对角化.当时,的
9、零向量对应中的列向量是属于的特征向量.同理可知的属于的特征向量分别是和,可得,使得.有重特征根的可对角化矩阵的对角化方法对存在重特征根的矩阵同样可用上述方法,只是此时中非零向量可能不构成列满秩矩阵,需将上述方法加以改进.我们先看引理4 设是数域上一个阶矩阵,可对角化的充要条件是的特征根都在内;对于的每一特征根,秩,这里是的重数.再由引理2,可知要判断是否可对角化只需考察的秩,并可得对角化步骤如下:定理 2 设（是数域一个阶矩阵）,则,其中是下三角矩阵,且主对角线元素乘积而得的多项式的根恰为的特征根.若的特征根都在内,可对角化的充要条件是：对的每一特征根,秩,这里是的重数;若可对角化,对的每一特
10、征根,若中非零向量构成列满秩矩阵,则的零向量对应的中的列向量是属于的全部线性无关的特征向量,可组合而得,使成对角形.否则继续施以列的初等变换：,使中非零向量构成列满秩矩阵,由可得属于的全部线性无关的特征向量. 证明由引理1,引理2的证明及引理4可得.例2 设（1） (2) 问,是否可对角化?若可以对角化,求可逆矩阵,使 成对角形.解 ,得的特征根（二重根）,由于秩秩,秩秩,故可对角化.因的非零向量不构成列满秩矩阵,需继续进行列的初等变换：.此时的非零向量构成列满秩矩阵,可得的全部线性无关的特征向量是和,同理可得属于的线性无关的特征向量是从而使. .由得的特征根（二重）, 易判断可对角化,属于的
11、特征向量是和,属于的特征向量是,从而 使.上述方法与传统方法比较显然具有优越性,但对于结果较多的矩阵,计算量仍然很大,可利用计算机采用此方法求解.3.3 利用矩阵的乘法运算,探讨矩阵对角化的方法.定理1 设是在数域上的全部互不相同的特征值.作多项式则在上可以对角化的充要条件是注 对于阶数较低的矩阵是否可以对角化,可以先求得所有互异特征值,再验证是否有若则可以对角化;若则不可以对角化.定理2 设是在数域上的全部互不相同的特征值.若则的属于的的特征子空间是的列空间.推论1 设 是在数域上的全部互不相同的特征值,其重数分别为且若可对角化.则矩阵的列向量组中有对应于的个线性无关的特征向量.定理 3 设
12、 是在数域上的全部互不相同的特征值.如果对每个都有 ,那么这里记的属于的特征子空间为,而的列空间为.推论2 设是在数域上的全部互不相同的特征值,其重数分别为则与对角矩阵相似的充要条件是的秩 .推论3 若阶可对角化矩阵只有两个相异的特征值（重）和 （重）,则矩阵（或）的（或）个线性无关的列向量就是对应（或）的特征向量组的极大线性无关组.例1 判断下列矩阵是否可以对角化,若可以,求可逆矩阵,使 成对角形. 解 易知的特征值是(2重根),它们都在数域中,尽管如此,不能对角化,因为.易求得的特征值是（2重根）.由于,故可以对角化.并且通过 ,可得属于的一个线性无关的特征向量通过,可得属于的一个线性无关的特征向量通过,可得属于的2个线性无关的特征向量和令,则 参考文献【1】 魏站线.线性代数要点与解题陕西：西安交通大学出版社,2006.【2】 高吉全.矩阵特征根与特征向量的同步求解方法探讨数学通报,1991.12. 【3】 张禾瑞,郝鈵新.高等代数北京：高等教育出版社,1993.【4】 陈汉藻.矩阵可对角化的一个重要条件数学通报,1990. 2.【5】 周伯.高等代数北京:人民教育出版社,1978.【6】 王萼芳,石生明.高等代数北京：高等教育出版社,2003. About The Method of The Diagonalization of Matrix
