《2018-2019学年2-2第2章2.2.2反证法学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年2-2第2章2.2.2反证法学案（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、精品资源欢迎下载2.2.2反证法f1学习目标导航I1 . 了解反证法的思考过程、特点.（重点、易混点）2 .会用反证法证明简单的数学问题.（重点、难点）阶段1认知倾习质疑初识械理至点初探基础初探教材整理反证法阅读教材P66 P67 “例3”以上部分，完成下列问题.1 .反证法的定义由证明p? q转向证明：B q? r?？ t, t与矛盾，或与某个矛盾，从而判定，推出的方法，叫做反证法.2 .常见的几种矛盾（1）与假设矛盾；与、定理、公式、定义或矛盾；（3）与矛盾（例如，导出0= 1,0*0之类的矛盾）.【答案】1 .假设 真命题 B q为假q为真2 . （2）数学公理 已被证明了的结论 （3）
2、公认的简单事实 微体验o1 .判断（正确的打”一，错误的打X”）（1）反证法属于间接证明问题的方法.（）（2）反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理.（）（3）反证法的实质是否定结论导出矛盾.（）【答案】，（2）X （3）V2 .已知平面an平面6=直线a,直线b? %直线c? B, bAa = A, c/a, 求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设【解析】二.空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，.应假设b与c平行或相交.【答案】b与c平行或相交质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1 ：解惑： 疑问2:解惑： 疑问3:解惑：
3、 阶段2合作探究通关分组讨轮疑难细究小组合作型西什3利用反证法证明否定性命题卜例 (1)用反证法证明：“若方程 ax2+bx+ c= 0,且a, b, c都是奇数， 则方程没有整数根”，正确的假设是方程存在实数根乂。为()A.整数B.奇数或偶数C.自然数或负整数D,正整数或负整数(2)已知三个正整数a, b, c成等比数列，但不成等差数列，求证：血，瓜 也不成等差数列.【自主解答】(1)要证明的结论是“方程没有整数根”，故应假设：方程存在实数根X0为整数，故选A.【答案】 A(2)证明：假设aa, qb, 五成等差数列，则 +&=2Vb,即 a+ c+ 2 ac= 4b.又a, b, c成等比
4、数列，所以b2=ac,即 b=gc,所以 a+c+ 2Vac=4/ac,所以 a+c 2/ac=0,即(加)2 = 0,所以从而 a=b = c,所以a, b, c可以成等差数列，这与已知中 “a, b, c不成等差数列”相矛 盾.原假设错误，故回 亚不成等差数列.名师皿丁 fr11 .用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不” “不是” “不可能” “不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法.2 .反证法证明问题的一般步骤假定所要证的绪论不成文，而设结曲的反 面(否定命题 成立.(否定触论) 将“反证”作为条件,由此出发豌过正确 的推理
5、.导出矛盾与已知条件、巳知 的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或 自相矛盾.(推导矛盾) 因为推理正确，所以产生矛盾的原因在 于“反设”的罩误.既然造法的反面不 成也，从而肯定了结讫蛇阜论成立)再练一题1.设数列an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和.求证：数列S 不是等比数列.【证明】假设数列Sn是等比数列，则S2=SlS3,222即 ai(1 + q) = ai ai(1 + q + q ),因为 aw0,所以(1 + q)2=1 + q + q2,即q=0,这与公比qw0矛盾.所以数列5不是等比数列.利用“反证法” “证明” “至少”更里2一“至多”等存在性命题W0 已知 a, b
6、, cC (0,1),求证：(1 a)b, (1-b)c, (1 c)a 不能都大于；.【精彩点拨】“不能都大于”的含义为“至少有一个小于或等于”其对立面为“全部大于”.1【自主解答】假设(1a)b, (1-b)c, (1c)a都大于Z. a, b, c (0,1),1-a0,1-b0,1-c0.a 计 b 接叱1-aP aJ4= 2同理T出2,1c+a 122.三式相加得3一2 士 c-2 (十 q b-2 +盾矛3-73- 2nBA1所以(1 a)b, (1 b)c, (1c)a 不能都大于 4.名师m f/s应用反证法常见的“结论词”与“反设词”当命题中出现“至多” “至少”等词语时，直
7、接证明不易入手且讨论较复 杂.这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：结论词反设词结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个X0不成立1至多有一个至少有两个对任忠x不成立存在某个X0成立至少有n个至多有n 1个p或qB p 且 q至多有n个至少有n+ 1个p且qB p 或 qJ再练一题2 .已知 a, b, c, dCR,且 a+b = c+d=1, ac+ bd1,求证：a, b, c, d 中至少有一个是负数.【证明】假设a, b, c, d都是非负数，因为 a+b=c+ d=1,所以(a+b)(c+d)= 1.又(a+ b)(c+d) = ac+bd+ a
8、d+ bc ac+ bd,所以 ac+ bd1矛盾,所以a, b, c, d中至少有一个是负数.探究共研型利用反证法证明唯一性命题13探究 反证法解题的实质是什么？【提示】否定结论、导出矛盾，从而证明原结论正确.已知直线m与直线a和b分别交于A, B两点，且a / b.求证：过a,b, m有且只有一个平面.【精彩点拨】“有且只有”表示“存在且唯一”，因此在证明时，要分别从存在性和唯一性两方面来考虑.【自主解答】因为a/b,所以过a, b有一个平面a 又因为 mCa = A, mA b= B,所以 AS a, BC b,所以 AC & BCo.又因为AC m, B m,所以m? % 即过a, b
9、, m有一个平面如图.假设过a, b, m还有一个平面B异于平面%则a?%b? a, a? B, b? 就这与a/b,过a, b有且只有一个平面矛盾. 因此，过a, b, m有且只有一个平面.名师应J 1(用反证法证明唯一性命题的一般思路证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性.当 证明结论以“有且只有” “只有一个” “唯一存在”等形式出现的命题时，可先 证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证 其唯一性.I I再练一题3 .若函数f(x)在区间a, b上的图象连续,且f(a)0,且f(x)在a,b上单调递增，求证:f(x)在(a, b)内
10、有且只有一个零点.【证明】 由于f(x)在a, b上的图象连续,且f(a)0,即f(a) f(b)m,则 f(n)f(m),即 00,矛盾；若 nm,则 f(n)f(m),即 00,矛盾.因此假设不正确，即f(x)在(a, b)内有且只有一个零点.构建体系一|定义gw反证法一证否定性命题一应用+屁唯一性命题证存在性命题阶段3体验落实评价课堂回馈即时达标1. “自然数a, b, c中恰有一个偶数”的否定正确的为()A. a, b, c都是奇数B. a, b, c都是偶数C. a, b, c中至少有两个偶数D. a, b, c中都是奇数或至少有两个偶数【解析】自然数a, b, c的奇偶性共有四种情
11、形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数，所以否定正确的 是a, b, c中都是奇数或至少有两个偶数.【答案】 D2.用反证法证明命题”三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的()【导学号：05410048】A.三个内角中至少有一个钝角B.三个内角中至少有两个钝角C.三个内角都不是钝角D.三个内角都不是钝角或至少有两个钝角【解析】“至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个” .【答案】 B3. “x= 0且v= 0”的否定形式为【解析】“p且q”的否定形式为虢p或q”.【答案】xw0或yw04 .用反证法证明命题“
12、若x2(a+b)x+abw0,则x*a且xwb”时，应假 设【解析】“xwa且x*b”形式的否定为 、=2或乂= b” .【答案】x= a或x=b5 .若a, b, c互不相等，证明：三个方程ax2 + 2bx+ c= 0, bx2 + 2cx+ a = 0, cx2 + 2ax+ b=0至少有一个方程有两个相异实根.【证明】假设三个方程中都没有两个相异实根，贝U A = 4b2 4ac0 0, &=4c24ab00, &=4a24bc00.相加得 a22ab+b2+b22bc+c2 + c22ac+ a20, (ab)2+(bc)2+(c a)200,a=b=c.这与a, b, c互不相等矛盾.假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.我还有这些不足：我的课下提升方案：
