导弹发射问题_数学建模

《导弹发射问题_数学建模》由会员分享，可在线阅读，更多相关《导弹发射问题_数学建模（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、数学建模竞赛承 诺 书我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括 、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： A 我们的队号为： 10 参赛队员：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人： 数模组 日期： 2009 年 8 月

2、 11 日评阅编号（由评阅老师评阅前进行编号）：数学建模竞赛编 号 专 用 页评阅编号：评阅记录：评阅人评分备注导弹发射问题摘要本文对导弹追击敌机问题：首先依据导弹弹道导引律建立二阶微分方程模型，其次通过降阶法化为一阶方程，然后对一阶方程进行积分求得追踪轨迹方程，最后给出在临界点击中敌机的导弹速度临界条件。问题1结论: 飞机发射I型导弹，追踪敌机的轨迹方程为：，二维平面 y关于x的解析解。导弹击毁敌机的条件：（：导弹速度，：敌机速度）； 导弹击中敌机的时间：；导弹追踪的里程：。 问题2结论:飞机发射II型地对空导弹追踪敌机的轨迹方程（三维空间的含参数的参数方程）：（） 导弹击毁敌机的条件为：速

3、度，；时间，；导弹追踪的里程，。问题3结论：对于雷达测定的敌机状态（不同的N、M，值），确保击毁敌机的导弹发射速度至少为：（导弹），（导弹），只要N，M，知道，就可以得出最小，T和S。使用Matlab软件编程对其模拟得出结果与导弹追踪轨迹图。关键词 导弹追逐 曲线的切线性质、微分方程、降阶法 MATLAB目录一、问题重申3二、模型的假设3三、符号说明4四、问题分析、模型的建立与求解5问题1的分析5模型的建立5模型求解6建立二阶微分方程6降阶法求解6求解结果8求解结果说明8问题2的分析9模型的建立与求解10三维空间上的导弹轨迹方程10求解结果11求解结果说明11五、模型的计算机实现与检验12六、

4、模型的优缺点与改进14模型的优点146.2 模型的不足与改进14七、参考文献15八、附录16MATLAB程序：（平面模拟）16Matlab程序(三维模拟)17一、问题重申某边防导弹基地的雷达发现位于其正东 N 公里处有一家来犯敌机正欲逃往正北方向 M 公里处的安全区。该基地的I型空对空追踪导弹和II型地对空追踪导弹均可针对目标随时自动调节追踪方向，截击敌机。但敌机一旦进入安全区后，由于电子干扰作用，I型、II型导弹均将失去追踪目标，无法将敌机击毁。1 如此时恰有一架携有I型空对空追踪导弹的、与敌机处于同一飞行高度的巡航飞机在空中，基地即下令巡航飞机发射I型追踪导弹击毁敌机。试确定导弹追踪敌机的

5、轨迹，并在适当的假定下给出发射该种导弹击毁敌机的条件；2 如此时在基地即发射II型地对空追踪导弹去击毁敌机，试确定导弹追踪敌机的轨迹，并在适当的假定下，及发射该种导弹击毁敌机的条件；3 若导弹的速度可在发射前根据需要设定，对于不同的N、M取值，编写计算机程序（语言不限），利用计算得到的数据说明怎样的发射速度可确保击毁敌机。二、模型的假设（1）导弹与敌机的轨迹高度始终不变即在同一平面内；（2）导弹发射时对准敌机；（3）导弹飞行的轨迹切线方向始终指向敌机；（4）导弹与敌机的速率恒定；（5）相对几百千米的路程导弹与敌机的长度可以忽略，均可看成物理质点；（6）.假设导弹与敌机的运动速度跟风速和阻力没有

6、关系，忽略重力的影响；（7）地对空导弹发射时对准敌机（针对问题二）。三、符号说明：敌机逃窜时的飞行速度；：追踪导弹的速度；：追踪导弹能正好击中敌机的临界速度；M：安全区与y轴方向的坐标；N：敌机最开始所在位置；T：导弹追上敌机的时间；x(t)：导弹与Y轴的距离；y(t)：导弹与X轴的距离；z(t): 导弹与Z轴的距离；k：/追踪导弹的速度比敌机逃窜时的飞行速度；：敌机逃窜时的飞行速度比追踪导弹的速度；H：敌机飞行时与地面的距离；：常数；S：导弹追踪的里程；:导弹追踪的临界里程。四、问题分析、模型的建立与求解问题1的分析由于导弹发射点与敌机处于同一高度，故敌机的运行轨迹和导弹的运行轨迹是处于同一

7、高度且在平行于地面的平面上，故可建立起平面直角坐标系。又由于导弹飞行方向始终指向敌机,即导弹飞行方向随时间的改变而改变，故可建立起微分方程1并求解。图 4-1模型的建立当= 0时,导弹位于点,敌机位于(N，0)点。 设导弹在任意时刻的位置为。设导弹的速度（恒定）, 敌机的速度 (恒定)，则有 。2 （1）设敌机在任意时刻的位置为。导弹速度恒为,从原点射出，且速度是横向和纵向距离的一阶导数的矢量和 。由于导弹轨迹的切线方向必须指向敌机, 即直线的方向就是导弹轨迹上点的切线方向，故有 ，即 （2）求解建立二阶微分方程将式(2)两边对求导得到 （3） 即 （4）由于，式(1)可写为 （5）将式(5)

8、代入(4)就得到一个二阶微分方程: （6）降阶法求解令 , 记 ,则(6)化为一阶可分离变量方程3 （7）即 （8）积分解得 （9）由初始条件得 导出 , 从而： （10）方程（10）两边同时乘以： （11）于是由（10）（11）两式得到 （12）这样我们又得到一个可分离变量方程 （13）积分得： （14）利用 , 知 , 于是导弹轨迹方程为 （） （15）求解结果设导弹击中敌机于 ,以 代入上式,得 (16)令 （17）即， （18） （19） 即 （20）而导弹击中敌机的时刻 : (21)导弹到达y轴的时间要小于敌机飞到(0,M)的时间时能击中敌机。导弹追踪的里程：。求解结果说明1、临界速

9、度。临界速度是指在击中区与安全区的交点击中敌机，导弹需要的初始速度：。的现实意义是：如果导弹的追踪速度，那么导弹就可以确保击中敌机；如果导弹的追踪速度，那么导弹就不能够击中敌机；如果，那么导弹就能够在临界点击中敌机。2、临界里程。临界里程是指以临界速度发射导弹击中敌机的导弹追踪轨迹长度：。的现实意义是：如果想以临界速度击中敌机，那么导弹的最长续航里程就比较大；当导弹的追踪速度大于临界速度时，导弹的续航里程就可以相应变小。问题2的分析表面上看，这是一个三维空间上的导弹追逐问题，但事实上我们可以把该问题简化为一个二维平面上的导弹追逐问题。由于导弹采用追踪法引导，导弹运行轨迹的切线方向必指向敌机。对

10、轨迹上所有点进行抽象，可以得到由导弹运行轨迹与敌机飞行轨迹不断相交所组成的一个平面。图4-2所示，然后用解决问题1的方法解决问题2。初始时刻导弹的发射方向对准敌机，即方向；切线方向，导弹运行轨迹；飞机沿逃逸。由空间平面性质可得导弹飞行的轨迹在平面上（如图4-2）。可将平面建立成如图4-3的平面坐标。图 4-2图 4-34.5模型的建立与求解三维空间上的导弹轨迹方程分别记敌机与导弹最开始所在处为A 、O点，以为O原点，OA所在直线为轴，敌机逃逸方向所在直线为AB，可以将建立的是三维直角坐标系转化为二维平面问题。安全区临界点B。用，替代问题一中导弹轨迹方程（15）的和N，可得问题二在的 平面上的轨

11、迹方程： （22）又由的关系4可得 （23）的几何意义：在t时刻导弹在三维空间的点投影在平面上的长度；现实意义：在t时刻导弹到发射点的距离的平方减去其沿y轴方向的距离的平方，然后再开方。由（22）、（23）可得问题二在的三维空间上的导弹轨迹方程（含参数）（24）（）求解结果设导弹击中敌机于 ,以 代入上式,得 (25)令 （26）即， （27） （28） 即 （29）而导弹击中敌机的时间 (30)导弹到达y轴的时间要小于敌机飞到(0,M)的时间时能击中敌机。导弹追踪的里程：。求解结果说明1、临界速度。临界速度是指在击中区与安全区的交点击中敌机，导弹需要的初始速度：。的现实意义是：如果导弹的追踪

12、速度，那么导弹就可以确保击中敌机；如果导弹的追踪速度，那么导弹就不能够击中敌机；如果，那么导弹就能够在临界点击中敌机。2、临界里程。临界里程是指以临界速度发射导弹击中敌机的导弹追踪轨迹长度：。的现实意义是：如果想以临界速度击中敌机，那么导弹的最长续航里程就比较大；当导弹的追踪速度大于临界速度时，导弹的续航里程就可以相应变小。五、模型的计算机实现与检验本文利用MATLAB软件5对上述模型进行编程模拟，利用现今的战斗机与导弹等信息进行实例验证。SR-71“黑鸟”（BlackBird），美国空军高空高速侦察机。飞行高度达到30000米，最大速度达到3.5倍音速，这称之为“双三”。因此SR-71比现有绝大多数战斗机和防空导弹都要飞得高、飞得快，出入敌国领空如入无人之境。6计算机模拟中的敌机数据：飞行高度12000-30000米、速度1.5-3.5倍音速，即510-1190m/s。对不同的N、M取值，利用MATLAB计算得到的数据说明怎样的发射速度可确保击毁敌机。本文利用这组数据进行随机模拟，采用以下公式：，表示临界速度。，令，。，。图5-1