《随机变量及其分布考点总结》由会员分享，可在线阅读，更多相关《随机变量及其分布考点总结（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章随机变量及其分布复习一、随机变量.1. 随机试验的结构应该是不确定的试验如果满足下述条件： 试验可以在相同的情形下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果它就被称为一个随机试验.2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若E是一个随机变量，a, b是常数则a b也是一个随机变量一般地，若E是随机变量，f(x)是连续函数或单调函数，则f()也是随机变量也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量3. 分布列：设离散型随机变量E可能
2、取的值为:Xi ,X2 , ,Xi ,E取每一个值xi(i 1,2,)的概率P( Xi) pi，则表称为随机变量 E的概率分布，简称 E的分布列X1X2XiPP1P2Pi有性质 pi 0,i1,2,； pi p2 Pi 1 .注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型.例如：0,5即 可以取0? 5之间的一切数，包括整数、小数、无理数典型例题：1、随机变量 的分布列为P( k) , k 1,2,3 ，则P(13)k(k 1)12、 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取两个球都是白球的概率为，现在甲乙两人从袋中轮流摸去一7球，甲先取，乙后取，然后甲再取 .，取后不放回，直到两人
3、中有一人取到白球时终止，用表示取球的次数。(1)求的分布列(2)求甲取到白球的的概率3、5封不同的信，放入三个不同的信箱，且每封信投入每个信箱的机会均等，树木的 X表示三哥信箱中放有信件最大值，求X的分布列。4、为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生5女生10合计5 0已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为5(1 )请将上面的列联表补充完整；已知喜爱打篮球的10位女B, B2, B3还喜欢打乒乓1名进行(2) 是否有99.5 %勺把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由;(3)生中，A, A, A
4、3, A4, As还喜欢打羽毛球，球，Cj, C2还喜欢踢足球，现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出 其他方面的调查，求 B1和C1不全被选中的概率.F面的临界值表供参考2p(Kk)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式：K2叱 be)，其中n abed)(a b)(e d)(a e)(b d)、几种常见概率1条件概率与事件的独立性 B|A与AB的区别：(2) P(B|A)的计算公式，注意分子分母事件的性质相同(3) P(AB)的计算公式注意三点：前提，目标，一般
5、情况 (4) P( A+E)的计算公式注意三点：前提，目标，一般情况 典型例题：1、市场上供应的灯泡，甲厂产品占70%乙厂产品占30%甲厂产品的合格率是95%乙厂产品的合格率80%则从市场上买到一个是甲厂产的合格品的概率是多少？2、 把一副扑克52张随即均分给赵钱孙李四家，A= 赵家得到六章草花， B= 孙家得到3张草花，计算P(B|A) , P(AB)3、 从混有5张假钞的20张百兀钞票中任取两张，将其中1张在验钞机上检验发现是假钞，求两张都是假钞的概率。4、有外形相同的球分装在三个盒子，每个盒子10个，其中第一个盒子 7球标有字母 A3个球标有字母B;第二个盒子中五个红球五个白球；第三个盒
6、子八个红球，两个白球；在如下规则下：先在第一个盒子取一个球，若是A球，则在第二个盒子取球；如果第一次取出的是B球，则在第三个盒子中取球，如果第二次取出的球是红球，则称试验成功，求试验成功的概率。5、在图所示的电路中，5只箱子表示保险匣，箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，当开关合上6、甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为 0.9，求:(1) 2人都射中目标的概率；(2) 2人中恰有1人射中目标的概率；(3) 2人至少有1人射中目标的概率；(4) 2人至多有1人射中目标的概率？三、几种分布1?独立重复试验与二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是
7、P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：P(E k) Cn pkqn k 其中k 0,1, n, q 1 p于是得到随机变量 E的概率分布如下：我们称这样的随机变量E服从二项分布，记作？ B ( n ? p),其中n, p 为参数，并记 c: pkqn k b(k; n p).二项分布的判断与应用. 二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布 当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布
8、求其分布列2. 几何分布：“ k”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把 k次试验时事件 A发生记为Ak，事A不发生记为A k ,P(A k) q ,那么P( E k) P(A 兀A?AAk).根据相互独立事件的概率乘法分式:C k C n kE是一离散型随机变量，分布列为P(E k)Cm Cn M (0 k M,0n k N M).分子是从 M件次品中取Cnk件，从N-M件正品中取n-k件的取法数，如果规定m vr时Cmr0,则k的范围可以写为k=0, 1，P(E k) P(Ai)P(A2) P(Aki)P(Ak) qk 1p (k 1,2,3,)于是得到随机变量 E的概率分布列
9、123kPqqp22q2pknq p我们称E服从几何分布，并记g(k, p) q k 1p，其中q 1 p. k 1,2,33?1)超几何分布：一批产品共有 N件，其中有M( M N)件次品，今抽取n(1 n N)件，则其中的次品数n.超几何分布的另一种形式：一批产品由a件次品、b件正品组成，今抽取门件(K nWa+b),则次品数k n k E的分布列为 P(E k) C3 Cn b k 0,1,n.Ca b超几何分布与二项分布的关系设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取 n件时，其中次品数 E服从超几何分布.若放回式抽取, 则其中次品数 的分布列可如下求得：把a b个产品编号，则抽取
10、 n次共有(a b)n个可能结果，等可能：k k n k(nk)含 cnakbnk 个结果，故 P(n k)二 C: (-A)k(1 )n k,k 0,1,2, ,n ，即? B(n). 我(a b)a b a ba b们先为k个次品选定位置，共cn种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，P(Ek) P(nk),因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样典型例题：1、某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留两个有效数字)：(1) 5次预报中恰有4次准确的概率；(2) 5次预报中至少有4次准确的概率.2、在
11、一个圆锥体的培养房内培养了40只蜜蜂，准备进行某种实验，过圆锥高的中点有一个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区，其中小锥体叫第一实验区，圆台体叫第二实验区，且两个实验区是互通的。假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的。(1) 求蜜蜂落入第二实验区的概率；(2) 若其中有10只蜜蜂被染上了红色，求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率；(3) 记X为落入第一实验区的蜜蜂数，求随机变量X的数学期望EX。4只小白鼠组成，其中3、A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由多，A有效的小白鼠只数比服用2/3，服用B有效的
12、概率为1/2.分布列B有效的两只服用A两只服用B,然后观察疗效。若在一个试验组中，服用 就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为(1) 求一个试验组为甲类组的概率。(2) 观察3个试验组，用 表示3个试验组中甲类组的个数，求4.某射击运动员每次射击击中目标的概率为p ( 0p1 )。他有10发子弹，现对某一目标连续射击，每次打一发子弹，直到击中目标，或子弹打光为止。求他射击次数的分布列5、由180只集成电路组成的一批产品中，有8只是次品，现从中任抽 4只，用 表示其中的次品数，试 求：(1)抽取的4只中恰好有k只次品的概率；(2)求分布列.二、数学期望与方差X1X2XiPP1P2P
13、i1.期望的含义：一般地，若离散型随机变量E的概率分布为则称 E X1P1 X2P2XnPn为E的数学期望或平均数、均值数学期望又简称期望数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平2. 随机变量aab的数学期望期望E E E(a b) aE b 当a 0时， E(b) b，即常数的数学期望就是这个常数本身 当a 1时， E( b) Eb) E即随机变量E与常数之和的期望等于E的期望与这个常数的和 当b 0时， E(a ) aE，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积单点分布：Ec其分布列为：P( 1) c .两点分布：1 p p，其分布列为:(P + q = 1二项分布:B
14、(n,p). ( P为发生n! kpk! (n k)!的概率)k np其分布列为E01Pqp1几何分布：E其分布列为p3. 方差、标准差的定义：当q(k, p). ( P为发生 的概率)已知随机变量E的分布列为P(Xk) pk(k 1,2,)时，则称D (X，E )2P1 (X2 E )2P2(Xn E )2p差.随机变量E的方差与标准差都反映了随机变量为E的方差.显然D 0 ,故.D .为E的根方差或标准E取值的稳定与波动，集中与离散的程度.D越小，稳4.方差的性质.随机变量ab的方差D( ) D(ab) a2D单点分布：D0其分布列为P( 1)P两点分布：Dpq其分布列为：(p +q = 1 )二项分布：Dnpq几何分布：Dq2P定性越高，波动越小5.期望与方差的关系(a、b均为常数)E01Pqp如果E和E都存在，则E( ) E E设E和 是互相独立的两个随机变量，则E( ) E
