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1、函数凹凸性鉴别法与应用作者：祝红丽 指引教师:邢抱花摘要 函数的凹凸性是函数的重要性质之一它反映在函数图象上就是曲线的弯曲方向，通过它可以较好地掌握函数相应曲线的性状本文基于函数凹凸性概念的分析，着重探讨了函数凹凸性的鉴别措施以及在解题中的应用,如在不等式证明中的应用以及在求函数最值时的应用等.并结合有关例题做了较具体的论述.核心词 凹凸性 导数 不等式 应用1 引言函数的凹凸理论在高等数学中占有重要地位.函数的凹凸性揭示了函数的因变量随自变量变化而变化的快慢限度，如果结合函数的其他性质,可以使我们对函数的结识更加精确.以函数在某区间上单调增长为例阐明我们不难理解,随着自变量的稳定增长,当函数
2、的增量越来越大时,函数图形是凹的,当函数的增量越来越小时，函数图形是凸的，当函数的增量保持不变时,函数图象是直线，对于减函数我们可以作类似的分析.作为研究分析函数的工具和措施，它在许多学科里有着重要的应用.长期以来,诸多学者致力于函数凹凸性的鉴别法及其应用的研究.近年来，有关函数凹凸性的鉴定与应用的研究获得了某些成果，使函数凹凸性的鉴别法与应用更加的广泛.本文先从两个具体的函数图象为出发点,直观上观测函数图象的弯曲方向,从而引出函数凹凸性的概念和拐点的定义并在此基本上简介了凹凸函数的几何特性,接着简介函数凹凸性的几种鉴别措施,如:用定义去鉴别函数的凹凸性，运用二阶导函数鉴别函数的凹凸性,及运用
3、函数凹凸性的鉴定定理鉴别函数的凹凸性.其中运用函数凹凸性的概念是最基本的鉴别措施,运用二阶导函数与函数凹凸性之间的关系是最常用的鉴别措施.最后举例简介了函数凹凸性在证明不等式、求函数最值以及函数作图中的应用虽然说并不是所有的不等式都能运用函数的凹凸性证明,但是运用函数的凹凸性去证明某些不等式，是其他措施不可替代的.运用函数凹凸性证明不等式丰富了不等式的证明措施，开阔理解题思路.运用导数分析函数的上升、下降，图形的凹凸性和极值.根据对这些的讨论可以协助我们画出用公式表达的函数图形,理解函数的凹凸性可以使对函数图形的描绘更加精确化. 2 凹凸函数及拐点的定义0YXY0我们已经熟悉函数和的图象.x它
4、们的不同之处是：曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方；而曲线则相反，任意两点间的弧段总在这两点连线的上方.我们把具有前一种特性的曲线称为凹的，相应的函数称为凹函数；后一种曲线称为凸的,相应的函数成为凸函数.函数凹凸性的分析定义形式较多，下面给出函数凹凸性定义的更一般的形式.21函数凹凸性的定义 定义设函数在区间上持续，若对上的任意两点，和任意实数,总有: , 则称为上的凹函数.反之，如果总有:,则称为上的凸函数.特别地，当=时,满足的函数为凹函数，满足的函数为凸函数如果定义中的不等式改为严格不等式,则相应的函数称为严格凹函数和严格凸函数.2. 凹函数与凸函数的几何意义定义中凹函数与凸函数
5、的图象如图、图. Y0x 0Yx图 图2凹函数(凸函数）的几何意义：连接曲线上任意两点的弦总位于相应曲线的上方（下方）. 拐点的定义设曲线在点处有穿过曲线的切线且在切点近旁，曲线的切线的两侧分别是严格凹和严格凸的,这时称点为曲线的拐点由定义可见，对于具有凹凸性的函数而言，拐点正是函数的凹凸性发生变化的那一点，即拐点的两侧邻域有着互异的严格凹凸性如下图中的点xYM. .0严格地说，拐点都是平面光滑曲线(即切线持续变动的曲线）弯曲方向发生变化的转折点，拐点的几何特性是该点的切线不是在曲线的一侧“托着曲线”而是切线在切点处把曲线一分为二，分别在切线的两侧易知,有正弦曲线的图象可知有拐点 ，为整数2.
6、4 拐点的鉴别法若在处持续，在两侧反号,则是曲线的拐点.若,，则是的拐点.例题 求下列函数的拐点 ； .解 , ， 当时，;当时，,又,因此点是函数的拐点.,因此点是函数的拐点.注意：函数的拐点只是表达在该点的两侧函数具有不同的严格凹凸性,而不能只依托判断二阶导数与否为零来拟定函数的拐点.对于二阶导数不存在的点,检查在左右两侧邻近的符号,那么当两侧邻近的符号相反时，点是曲线的拐点,当两侧的符号相似时，点不是曲线的拐点函数的拐点.因此函数的拐点与二次导数与否存在没有必然的联系.例如:在时的状况易知,在处的二阶导数不存在，但是当时，,当时，因此是的一种拐点.3函数凹凸性的鉴别法观测函数图象，我们很
7、容易得出结论：凹函数的一阶导数是不断变大的,而凸函数的一阶导数则恰恰相反.这是我们通过观测几何图形进行直观的感知得到的结论，但是人的观测不可避免的存在着一定的局限性，只有通过严密的证明得到的结论才干使人信服.迄今为止,鉴别函数的凹凸性已有诸多的措施.31 定义法鉴别函数的凹凸性用定义法去鉴别函数的凹凸性是最基本的鉴定措施,也是其他鉴定措施的基本.因此对定义的理解和掌握是至关重要的.例题2 ,均为上的持续函数，证明: 若，均为凹函数,则为凹函数; 若，均为递增非负凹函数,则为凹函数证明 设任意的，,、由于，均为凹函数,因此由定义知：和.两式相加：,即:， 所觉得凹函数.、由题题意得: .下面只要
8、证明： 即可.采用做差法比较两者的大小：.综上所述，可得.因此是凹函数.例3为区间上的可导函数，证明:若对于上的任意两点,，有， 则为上的凹函数.证明 设以,为上任意两点， , 由， 并运用与,. .分别用与上列两式并相加，得到:.所觉得上的凹函数. 函数凹凸性的鉴定定理定理 为上的函数,若对于上的任意三点,总有: ， 则为上的凹函数.证明 在上任取两点,在上任取一点,则,， 由于 ,因此有:因此有， ，由于 ,因此不等式两边同步除以有：即又. 因此.所觉得上的凹函数.例题4 设为区间上的函数,若对于实数，使得，有,证明:为区间上的凹函数.证明 设是区间上任意三点，由已知条件,对于，存在实数，
9、使得， . 令 ， 有,得到.再令, 有 ,得到.综上所述，所觉得区间上的凹函数 . 函数凹凸性的充要条件充要条件 设函数在上持续，在内具有一阶和二阶导数,那么，若在内恒有,则在上的图形是凹的；若在内恒有,则在上的图形是凸的注意:若在区间内的某一子区间上，则在该子区间上的图形是一段直线，该子区间既非凹区间也非凸区间.证明 （1）充足性：由于,所觉得上的增函数，设任意的，在以，(不妨设)为端点的区间上，由拉格朗日中值定理和为上的增函数,可得：，即对上的任意两点,有：. 令，有,;；因此,. 以上两个不等式的两端分别乘以与并相加得：.即在是凹函数；必要性：任取上两点及充足小的正数.由于,根据是凹函
10、数及函数凹凸性的鉴定定理有:.由于是可导函数,令时可得.所觉得上的增函数，因此在内恒有(2)的状况类似的可以证明.例题 求曲线的凹凸区间及拐点.解 函数的定义域为，又，,令,即，得到，点把定义域提成两个部分即与在各部分区间内与的符号,相应曲段弧的升降及凹凸、拐点等，如下图表：图形凸区间拐点凹区间可得：在内,因此是曲线的凸区间.在内,，因此是曲线的凹区间.因此：点是曲线的拐点.小结：求曲线凹凸区间及拐点的环节:一方面找出也许是拐点的横坐标(涉及使二阶导数为零的点和二阶导数不存在的点)，再运用二阶导数的符号判断该曲线的凹凸区间及拐点. 函数凹凸性的应用函数凹凸性的应用及其广泛,诸多与函数、不等式交
11、汇的综合问题都可以运用函数的凹凸性加以解决.运用函数的凹凸性去解决问题，往往可以使某些复杂的问题简朴化.接下来,我们重点讨论函数凹凸性在不等式的证明、求函数最值以及函数作图等中的应用.4.1 函数凹凸性在证明不等式中的应用 有些不等式的体现形式很简朴,但如果通过常规的证明措施和技巧却很难达到预期的效果，这就需要我们另辟蹊径，寻找更有效的措施技巧,运用凹凸函数的性质不仅可以减少计算量,使解题更加合理，并且借助凹凸函数的几何特性可以使解题思路更加清晰直观41.1 运用函数的凹凸性证明一种重要的不等式定理 如果是凸函数对，满足,均有.特别地,当时,上述不等式称为琴生（esen)不等式.例题 任意个非
12、负实数的调和平均值不不小于或等于它们的几何平均值不不小于或等于她们的算数平均值.即：, 恒有:.当且仅当时等号成立.证明 考虑函数,很容易判断出其是凸函数,有琴生（Jnsen)不等式得到：.即:，又在定义域上是单调递增的.因此有：，当且仅当时等号成立另一方面，. 即:.又在定义域上是单调递增的. 因此有:，当且仅当时等号成立.综上所述有:.当且仅当时等号成立.注意：运用函数的凹凸性证明不等式时，一定要注意构造或者引进我们所需要的辅助函数,使条件和结论、已知与未知建立联系.4.1.2凹凸函数不等式的积分形式定理 设是上的可积函数且,是上的持续凸函数,则:（如果是凹函数，则不等式反向）.例题 设为
13、上的正值持续函数，证明:.证明 令，由上述定理得： .即得证.例题设在上持续可导,.若,证明：证明 由，可得,进而得到,因此.由函数凹凸性的充要条件知为凸函数. 因此有：.又,因此.另一方面，由Hadamr不等式:设函数是上持续的凸函数,对任意的 ,有：,得.即：,又，因此在为单调增函数,因此有:, 即.综上所述， 即有：.小结：运用函数凹凸性证明不等式虽然有一定的局限性,但是它却可以避免某些繁杂的解题过程，大大的简化解题环节,是其他措施不能达到的.运用函数凹凸性证明不等式的解题核心是构造合适的辅助函数,可以使问题和已知的条件联系起来，只有这样才干达到预期的效果.4.2 函数凹凸性在求函数最值中的应用通过观测不等式的证明,我们可以发现,如果不等式的一边是常数的话,那么不等式的证明就演变成了求函数的最值问题，我们就可以运用函数的凹凸性来求函数的最值,从而就可以避免繁杂的化简、转化、变形等过程.若可以灵活运用函数的凹凸性解题，可达到事半功倍的效果.例题 设,试求的最小值.解析 如果采用一般的解题措
