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1、数学知识与技巧、程与程组1.一元二次程2axbxc0bb24acxi,22a一般常用因式分解法：2X22x30(x3)(x1)0x13,x212 .二元一次程组消去其中一个元素即可例1:3xy5(1)2xy4(2)(1) (2),消去v,得x=1,y=2注意：并不是任二元一次程组都有唯一解。例2:3xy5(1)6x2y10(2)上述程有无穷多解。例3:3xy5(1)6x2y7(2)无解。3 .二元二次程组一般只考如下形式：(1)a1xb1yc12,2a2xb2xa3yb3yC2（2）即其中的一个程为一次。这种形式等价于一元二次程，把（1）代入（2）即可。4 .不等式如果不等式两边同时乘以或者除
2、以一个负数，这时不等式的向发生变化。如果不等式两边同时乘以或者除以一个正数，这时不等式的向不发生变化。若ab0,a0,则b0若ab,c0,则acbc若ab,c0,则acbc（注意c的符号的影响）若|xa|b,则一bxab,贝Uxab或xa0,kp?2（1）nk、数列与集合1等差数列ana(n1)dSn(a1an)n/2n(ana1)/d15 .等比数列n1a1anaqSn当q1时，sa11q11122236 .集合无重复元素的序列（或数列）就是集合。ABABaba-bI=A+BAB+非A非BI=A+B+CABBCCA+ABC+非A+非B+非C例：小于100的自然数中有多少个即不被2整除又不被5
3、整除？三、排列组合与概率1 .排列与组合Pmnm!/(mn)!从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。Ctm!/n!(mn)!从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。CnmnCmCm(1) 加法原理某件事由两种法来完成，第一种法可由m种法完成，第二种法可由n中法完成，则这件事可由m+n种法来完成。例：到美利坚去，既可以乘飞机，也可以坐轮船，其中飞机还有战斗机与民航，轮船有小鹰号和泰坦尼克号，问有多少种走法？(2) 乘法原理某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种法完成，第二个步骤可由n中法完成，则这件事可由mxn种法来完成。例：到美利坚去，先乘飞机，再坐轮船，其中飞机还有战斗机与民航，轮船有小鹰
4、号和泰坦尼克号，问有多少种走法？2 .概率第一步：概率基本原理(古典定义)P(A)=A所包含的基本事件数/基本事件总数。例1：某班有男生30名，女生20名，问从中随机抽取一个学生，是男生的概率有多大挑取两个全是男生的概率是多大呢？(A)c30/c5。，p2(a)c30/c50例2:硬币有正反两面，抛一次正面朝上的几率是多少？连续抛两次，至少有一次正面朝上的几率是多少?第二步：使用加法或者乘法原则第三步：减法原则例题：袋中有a只白球，b只红球，一次将球一只只取出，不放回。求第K次取出白球的概率。(1Kab)1ab1CaPab1Paa4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学,例题：从
5、5位男同学和4位女同学中选出有几种不同的选法？C99C5C43 .条件概率例1:一个班有100人，男生60人，女生40人，男女生当中都有黑头发与棕色头发的，其中有10个男生棕色头发，棕色头发一共有30个人，问在100个学生，随便抽取，抽到男生棕色头发的概率是多少？古典概型：1C100乘法原则:6030100 100例题：1 .用0,2,4,6,9这五个数字可以组成数字不重复的五位偶数共有多少个?P55P44P44P332 .6同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女想间而坐，则不同的分法数为多少?P33?P33?23 .甲乙丙丁戊五人并排站成一排，如果乙必须站在甲的右边（甲乙可以不相
6、邻），那么不同的排法有多少种?P5/24 .晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？第一，3个舞蹈节目排在一起；p6?p3第二，3个舞蹈节目彼此分开；P3?P55第三，3个舞蹈节目先后顺序一定。P88/P33F85挡板模型：010203040505.4本不同的书分给2人，每人2本，不同的分法共有多少种？C2四、排列组合和概率习题讲解排列组合题目的四个步骤：1 .古典概型2 .加法原则、乘法原则3 .减法原则、除法原则4 .条件概率讲义白皮书第28页：1.10个人中有6人是男性，问组成4人组，三男一女的组合数。31答案：C6c48. 4幅大小不
7、同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法?32答案：P3P29. 5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法?2或者P511 .掷一枚均匀硬币2n次，求出现正面k次的概率。12 .有5个白色珠子和4个黑色珠子，从中任取3个，问其中至少有1个是黑色的概率?18.从0到9这10个数中任取一个数并记下它的值, 出现5的概率是多少？放回，再取一个数也记下它的值。两个值的和为8时,答案:19.5双不同颜色的袜子，从中任取两只，是一对的概率是多少?答案:11.掷一枚均匀硬币2n次，求出现正面k次的概率。k2nk“11k答木：(2)(2)C2n26.有4组人，每组
8、一男一女，从每组各取一人，问取出两男两女的概率？22“112答案：)C427.一个人掷飞标，其击中靶心的概率为0.7,他连续掷4次飞标，有2次击中靶心的概率为多少?答案：(0.7)2(0.3)2c428.某种硬币每抛一次正面朝上的几率为0.6,问连续抛5次，至少有4次正面朝上的概率。5414答案(0.6)+(0.6)(0.4)C529.A发生的概率是0.6,B发生的概率是0.5,问A,B都不发生的最大概率？答案：0.430.某种动物由出生而活到20岁得概率为0.7,活到25岁得概率为0.56,求现龄为20岁得这种动物活到25岁的概率。答案：05%7=0.8五、数论（自然数的理论）1 .自然数：
9、正整数。如1,2,3,4,5。2 .奇数：不能被2整除的整数（可正可负），通式：2n+1。如-1,1。3 .偶数：能被2整除的整数（可正可负），零是偶数。通式：2n。如-4,-2,0,2,4。4 .质数：除了1和它本身之外没有别的因子的自然数。2是最小的质数，也是唯一的偶质数。1不是质数。如2,3,5,7,11,13。5 .合数：除了1和它本身之外由别的因子的自然数。4是最小的合数。1不是合数。如4,6,8,9。或奇数X偶数6 .奇偶性分析：1）偶数=偶数十偶数或奇数十奇数，偶数=偶数X偶数2）奇数=奇数+偶数3）奇数个奇数相加减，结果为奇数4）偶数个奇数相加减，结果为偶数5）任意个偶数相加减
10、，结果为偶数6）若n个整数相乘结果为奇数，则这n个整数为奇数(-2)+(-1)+0+1+2=0(-3)+(-1)+1+3=0(-4)+(-2)+0+2+4=07）若n个连续的整数相加等于零，则n为奇数。如8）若n个连续的奇数相加等于零，则n为偶数。如9）若n个连续的偶数相加等于零，则n为奇数。如10）两个质数之和为奇数，其中必有一个是2。7 .n个连续自然数的乘积一定能够被n!整除。如：2X3X4,4X5X6X78 .若n能被a整除，且能被b整除，那么n一定能够被a,b整除。（其中a,b表示a和b的最小公倍数，另外a,b表示a和b的最大公约数）特别地，当a,b互质（即无公因子），则n能被axb
11、整除。（这里用到了公式a,b=axb/a,b）如n能被8和12整除，n也能被24整除；如n能被8和11整除，n也能被88整除。9 .余数表示法。如：一个偶数被7除余3,问被14除余几？p=7n+3,由于p为偶数，3为奇数，所以7n为奇数，n可以表示为2q+1于是p=7（2q+1）+3=14q+10很明显余数为10。10 .字母法（未知数法）。如：两个两位数各位与十位恰好颠倒，问下面哪个不能是两数之和？A.B.121C.77D.132E.154设两数分别为ab和ba,贝U（ab）+（ba）=（10a+b）+（10b+a）=11（a+b）,即和必为11的倍数显然答案为Ao11 .代入法。如：余数表
12、示法例中，既然问被14除余几，则必然结果唯一，任意代入一个数即可，比如24,立刻得到答案10。代入法是缺乏数论知识的广大学员做对大部分题的法宝。12 .一些整除性质。1)已知C=A+B且A是m的倍数，则C是m的倍数与B是m的倍数互为充分必要条件推论：一个数是否能够被5整除，只要看它的最后一位。一个数是否能够被4整除，只要看它的后两位。一个数是否能够被8整除，只要看它的后三位。一个数能否被3整除，取决于各位之和能否被3整除。例题：已知m=7n+8(n为整数)，下面哪个不能是m的值？A.49B.43C.64D.78E.922)个位数为1的数任意次个位数均为1。3)个位数为5的数任意次个位数均为5。
13、4)个位数为6的数任意次个位数均为6。练习：求265的个位数是多少？65162=16X265,*、，.求3的个位数是多少？6516、，c3=81x3六、单利和复利1 .单利通式：a1x(1+nx)复利通式：a1x(1+x)n2 .综合例子：年利率为12%,按每月的复利计算，两年后100元变成多少元?100x(1+1%)24七、数据充分性1 .约定：A为(1)充分，(2)不充分。B为(1)不充分，(2)充分。C为(1)和(2)在一起充分，但分别不充分。D为(1)和(2)自己分别充分。E为(1)和(2)在一起也不充分。做题阶段：第一阶段：先看条件(1),只要(1)充分，答案不是A就是D再看条件(2
14、),只要(2)充分，答案不是B就是D如果(1)(2)都充分，则答案一一定是D如果一个充分一个不充分，答案就是A或者B(只要(1)不充分，答案肯定不是A或者D)第二阶段：C是好白E,E是坏的2 .做题步骤。1)读题干，若是文字题，必须列出相应的式子。2)先单独看(1),(2)是否充分，若分别都充分，选D;若其中一个充分，则选A或B。3)若都不充分，则看(1)和(2)加在一起是否充分，若充分，则C;否则选E。3 .特点。1)不需要求出具体值，只需要知道求出即可。例：买一打(12个)罐装汤，问降低后的价格比起原价格便宜多少？(C)(1)原价一美元三个。X(2)降低后的价格一美元三个。X2)字母不代表具体的值，应确定字母的值以后，才决定充分与否。例：W-w0?(E)(1) W=a+bx(2) w=a-bx3) 选C时应该注意是否可选A或B。例：x2=?(A)(1) |x|二2V(2) x0X4) 唯一性。例：x=?(A)(1) x=2,(2) x2=4X练习：蓝皮书234页114题
