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1、福建师范大学21秋复变函数在线作业三答案参考1. 试利用求正交投影的方法，求点M(4，-4，8)到平面2x-2y+z=0的距离.试利用求正交投影的方法，求点M(4，-4，8)到平面2x-2y+z=0的距离.令W=(x，y，z)TR3|2x-2y+z=0，可求出W的一个标准正交基为到W的正交投影为1=，e1e1+，e2e2=(-1，1，4)T.所求距离为d=-1=8.2. 设1，2是独立同分布的N(0，1)随机变量，试求的概率密度函数设1，2是独立同分布的N(0，1)随机变量，试求的概率密度函数因为1，2是独立同分布N(0，1)随机变量，所以联合分布律 当z0时，FZ(z)=0 当z0时，有 所
2、以 3. 在，2上，函数f(x)=sinx满足罗尔定理中的_。在，2上，函数f(x)=sinx满足罗尔定理中的_。4. 设函数f(x)=x.tanx.emin，则f(x)是( )A偶函数B无界函数C周期函数D单调函数设函数f(x)=x.tanx.emin，则f(x)是( )A偶函数B无界函数C周期函数D单调函数正确答案：B由于，故f(x)无界，或考察f(x)在xn=的函数值，有，可见f(x)是无界函数，故应选B5. 若f，gBV，则|f|，f+，f-，fg，fg属于BV。( )A.正确B.错误参考答案：A6. 讨论函数f(x)=2x+1在点x=1处的连续性.讨论函数f(x)=2x+1在点x=1
3、处的连续性.因为函数在f(x)=2x+1在点x=1的任一邻域内有定义，且，所以函数f(x)=2x+1在点x=1处连续.7. 已知(2x)x2a(x1)b(x1)2(x1)，求a，b的值。已知(2x)x2a(x1)b(x1)2(x1)，求a，b的值。正确答案：解 令 x1tx1t0rn解令x1t,x1,t08. 设1，2，s均为n维向量，下列结论不正确的是A若对于任意一组不全为零的数k1，k2，ks，都有k11设1，2，s均为n维向量，下列结论不正确的是A若对于任意一组不全为零的数k1，k2，ks，都有k11k22kss0，则1，2，s线性无关B若1，2，s线性相关，则对于任意一组不全为零的数k
4、1，k2，ks，都有k11k22kss0C1，2，s线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为sD1，2，s线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关正确答案：B9. 唯一因式分解定理的唯一性是用什么方法证明的?A、数学归纳法B、因果关系法C、演绎法D、列项合并法唯一因式分解定理的唯一性是用什么方法证明的?A、数学归纳法B、因果关系法C、演绎法D、列项合并法正确答案： A10. 设yf(x2b)其中b为常数，f存在二阶导数，求y设yf(x2b)其中b为常数，f存在二阶导数，求y正确答案：yf(x2b)2xyf(x。b)2x2xf(x2b)24x2f(x2b)2f(x2b)11. 证明：两异面直线
5、l1，l2公垂线段的长度就是l1，l2之间的距离。证明：两异面直线l1，l2公垂线段的长度就是l1，l2之间的距离。 (如图所示)设AB是l1与l2的公垂线段，长度为|AB|，在li上任取一点Qi(i=1，2)，作出由Qi，V1，V2决定的平面，于是AB，由Q2作的垂线，设垂足为N，因为l2，所以|AB|=|Q2N|，于是，在直角三角形Q1NQ2中，|Q1Q2|Q2N|=|AB|，所以，|AB|是l1与l2之间的最短距离，即两异面直线l1与l2线段的长度就是l1与l2之间的距离。 12. 设随机变量X的概率密度，则Y=( )N(0，1) A B C D设随机变量X的概率密度，则Y=()N(0，
6、1)ABCDB13. 连续4次掷一颗骰子至少出现1次一个6点(设为事件A)与连续24次掷两颗骰子至少出现1次两个6点(设为事件B)，哪个连续4次掷一颗骰子至少出现1次一个6点(设为事件A)与连续24次掷两颗骰子至少出现1次两个6点(设为事件B)，哪个事件的概率更大?P1=4/64 p2=24/624p1/p2=4/64*624/24=6191所以4次的概率大14. 计算mod5的整数的加法表、乘法表和减法表。计算mod5的整数的加法表、乘法表和减法表。 oplus 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 1 1 2 3 4 0 2 2 3 4 0 1 3 3 4 0 1 2 4 4 0 1
7、 2 3 otimes 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 2 0 2 4 1 3 3 0 3 1 4 2 4 0 4 3 2 1 ominus 0 1 2 3 4 0 0 4 3 2 1 1 1 0 4 3 2 2 2 1 0 4 3 3 3 2 1 0 4 4 4 3 2 1 0 15. 下列函数中( )的导数等于sin2x Acos2x： Bcos2x： C-cos2x； Dsin2x下列函数中()的导数等于sin2xAcos2x：Bcos2x：C-cos2x； Dsin2xD(cos2x)=-2sin2x，(cos2x)=-2cosxsinx=-sin2
8、x， (-cos2x)=2sin2x，(sin2x)=2sinxcosx=sin2x，故选D 16. 求由横轴和曲线y=arcsinx，y=arccosx围成图形的面积求由横轴和曲线y=arcsinx，y=arccosx围成图形的面积17. 什么是刚性方程组?为什么刚性微分方程数值求解非常困难?什么数值方法适合求刚性方程?什么是刚性方程组?为什么刚性微分方程数值求解非常困难?什么数值方法适合求刚性方程?在求解微分方程组时，经常出现解的分量数量级差别很大的情形，这给数值求解带来很大困难，这种问题称为刚性问题 求刚性方程数值解时，若用步长受限制的方法就将出现小步化计算大区间的问题，因此最好使用对步
9、长h不加限制的方法 如欧拉后退法及梯形法，即A-稳定的方法， 通常求解刚性方程的高阶线性多步法是吉尔方法还有隐式龙格-库塔法 18. 求证方程a1cosxa2cos3xancos(2n1)x=0，在(0，)内至少有一个根，其中实系数a1、a2、an满足求证方程a1cosx+a2cos3x+ancos(2n-1)x=0，在(0，/2)内至少有一个根，其中实系数a1、a2、an满足f(k)=0令f(x)=a1sinx+a2sin3x/3+ansin(2n-1)x/(2n-1)f(0)=0f(/2)=a1-a2/3+(-1)n-1an/(2n-1)=0f(x)=a1cosx+a2cos3x+anco
10、s(2n-1)x又因为f(0)=f(/2)=0根据罗尔定理在(0,/2)内一定存在一点k,使得f(k)=0证毕19. 用推理规则证明下式： 前提：，W(y) 结论：S(x)用推理规则证明下式：前提：，W(y)结论：S(x)证明 (1)()(M(y)W(y) P (2)M(c)W(c) ES(1) (3)(M(c)W(c) T(2)E (4)()(M(y)W(y) DG(3) (5)()(M(y)W(y) T(4)E (6)()(F(x)S(x)()(M(y)W(y) P (7)()(F(x)S(x) T(5)(6)I (8)()(F(x)s(x) T(7)I (9)(F(a)S(a) US(8
11、) (10)qF(a)VS(a) T(9)E (11)F(a)S(a) T(10)E (12)()(F(x)S(x) UG(11)上述(2)中利用ES规则所选的c，是指(1)中符合()所指定的那些个体，而不是个体域中其他无关的个体，这对后面推证的正确性很重要(7)中所推为丁，其来源为：由于(5)为T，对应(6)中蕴含式的后件就为F，而(6)本身为T，那么(6)的前件应为F，而(7)是(6)的前件取反，即为丁T 20. 设有方程组，问a，b取何值时，该方程组无解、有唯一解、有无穷多解?设有方程组5a+3b=r（A/B），问a，b取何值时，该方程组无解、有唯一解、有无穷多解?线性代数，计算呗，最后
12、我的结果 a0,b1，有唯一解 a1/2,b=1，无解 a=1/2,b=1，无穷多解21. 设A，B，C为任意集合，试证： (1)A(BC)=(AB)(AC)； (2)A(BC)=(AB)(AC)设A，B，C为任意集合，试证：(1)A(BC)=(AB)(AC)；(2)A(BC)=(AB)(AC)分析上述等式左边是表示先做括号内的并、交运算，再做笛卡尔乘积；而等式右边则表示先做括号内的笛卡尔乘积，再做并、交运算它们的结果应该是一样的，可以用笛卡尔乘积和并、交运算的定义及括号的优先级别来证明，这是集合等式证明中常见的一种基本方法 证明 (1)A(BC)=(x，y)| xA且yBC =(x，y) xA且yB或xA且yC =(x，y)|(x，y)AB或(x，y)AC =(x，y)|(x，y)(AB)(AC) =(AB)(AC)； (2)A(BC)=(x，y)| xA且yBC =(x，y)| xA且yB且xA且yC =(x，y)|(x，y)AB且(x，y)AC =(x，y)|(x，y)(AB)(AC)
