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1、排列组合二项定理考试内容:分类计数原理与分步计数原理.排列.排列数公式.组合.组合数公式.组合数的两个性质.二项式定理.二项展开式的性质.考试要求:(1) 掌握分类计数原理与分步计数原理,并能用它们分析和解决一些简单的应用问题.(2) 理解排列的意义,掌握排列数计算公式,并能用它解决一些简单的应用问题.(3) 理解组合的意义,掌握组合数计算公式和组合数的性质,并能用它们解决一些简单的 应用问题.(4) 掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们计算和证明一些简单的问题.排列组合二项定理知识要点一、两个原理.1. 乘法原理、加法原理.2, 可以有重复元素的排列.从m个不同元素中,每次取出n个元
2、素,元素可以重复出现,按照一定的顺序排成一排, 那么第一、第二.第n位上选取元素的方法都是m个,所以从m个不同元素中,每次取 出n个元素可重复排列数mm.m = mn.例如:n件物品放入m个抽屉中,不限放法,共有多少种不同放法?(解:mn种)二、排列.1. 对排列定义的理解.定义:从n个不同的元素中任取m(mn)个元素,按照一定顺序排成一列,叫做从n个不同 元素中取出m个元素的一个排列.相同排列.如果;两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序也必须完全相 同.排列数.从n个不同元素中取出m(mr)个元素排成一列,称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.从n个不同元素中
3、取出m个元素的一个排列数,用符号Am表示.n排列数公式:n!Am= n(n 一 1)A (n 一 m +1) =(m n, n, m e N)(n 一 m)!注意:n-n! = (n + 1)!-n!规定 0! = 1A m = Am + Am -C m-1 = Am + mAm-1Am = nAm-1规定(JO =Cn = 12. 含有可重元素的排列问题.对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集S有k个不同元素气,a2,.an其中限重复数为 n1、n2nk,且 n = n1+n2+琮,则S的排列个数等于n = 一-一 n!n !.n例如:已知数字3、2、2,求其排列个数n = (1 + 2)
4、! = 3又例如:数字5、5、5、求其排列个 1!2!数?其排列个数n = 3! = 1. 3!三、组合.1. 组合:从n个不同的元素中任取m(mr)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个组合.组合数公式:6 =生=n(n DA (n - m + D Cm =n! n Amm!n m!(n - m)!m两个公式:Cm=cn-m;Cm-n+Cmn=Cnm Hn ntvtv 从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素,因此从n个不同元素中取出n-m 个元素的方法是一一对应的,因此是一样多的就是说从n个不同元素中取出n-m个元素的 唯一的一个组合.(或者从n+1个编号不同的小
5、球中,n个白球一个红球,任取m个不同小球其不同选法, 分二类,一类是含红球选法有Cm-1 -C1 =Cm-1 一类是不含红球的选法有Cm)n 1 nn 根据组合定义与加法原理得;在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时,对于某一元 素,只存在取与不取两种可能,如果取这一元素,则需从剩下的n个元素中再取m-1个元 素,所以有Cm:,如果不取这一元素,则需从剩余n个元素中取出m个元素,所以共有 勇种,依分类原理有Cm-+cm=Cn+1.排列与组合的联系与区别.联系:都是从n个不同元素中取出m个元素.区别:前者是“排成一排”,后者是“并成一组”,前者有顺序关系,后者无顺序关系.几个常用组合数公式Co
6、 + C1 + C2 + A人 n = 2nCo + C2 + C4+A =C1 + C3 + C5 +A =2 n-1Cm + C m + C mA C m =C m+1 n m+1 m+2 m+n m+n+1kCk = nCk-1nn - 111Ck =Ck+1k + 1 n n + 1 n + 1 常用的证明组合等式方法例.i. 裂项求和法.如:-+ - + - +An = 1 - 1(利用日=1-)2! 3! 4!(n +1)!(n +1)!n!(n -1)! n!ii. 导数法.iii.数学归纳法.iv,倒序求和法.V.递推法(即用 Cm +Cm1 = C m 递推)如:C 3 +C
7、 4 +C 3 +A C 七=C 1.35nn+_i_nn n+1Vi.构造二项式.如:(C0)2 +(C;)2 +A+(C;)2 =C2n证明:这里构造二项式(X + 1) n (1 + X) n = (1 + X)2 n其中X的系数,左边为C 0 Cn +C 1 Cn-1+C 2 Cn - 2 + A +Cn C 0 = (C 0)2 +(C 1)2 +A +(C)2,而右边=C nn n n n n nn n nnn2 n四、排列、组合综合.1. I.排列、组合问题几大解题方法及题型: 直接法.排除法. 捆绑法:在特定要求的条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待整体排好之后再 考虑
8、它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”,例如,一般地,n个不同元素排成一列,要求其中某m(m m,即mm,即m nl时有意义.nm n 一 m+1 m2 隔板法:常用于解正整数解组数的问题.例如:x + x + x + x = 12的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一1234列,在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板,把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为x ,x ,x ,x显然 x + x + x + x = 12,故(x ,x ,x ,x )是方程的一组解反之,123412341234方程的任何一组解(y ,y ,y ,y ),对应着惟一的一
9、种在12个球之间插入隔板的方式(如图 12345.II1234x x X x所示)故方程的解和插板的方法一一对应.即方程的解的组数等于插隔板1234的方法数C 3.注意:若为非负数解的X个数,即用a , a ,.a中a.等于.+1,有x + x + x . + x = A n a 1 + a 1 + .a 1 = A,进而转化为求a的正整数解的个数为123 n12nC n-1 A+n 定位问题:从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内,并且都排在某r个指定位置则有An二.例如:从n个不同元素中,每次取出m个元素的排列,其中某个元素必须固定在(或不固 定在)某一位置上,
10、共有多少种排法?固定在某一位置上:Am1 ;不在某一位置上:Am Am-1或A ” + A 1 Am1 (一类是不取出 n1nn 1n1m1n1特殊元素a,有A m,一类是取特殊元素a,有从m-1个位置取一个位置,然后再从n-1个 n1元素中取m-1,这与用插空法解决是一样的) 指定元素排列组合问题.i. 从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列(或组合),规定某r个元素都包含在内。先C后A策略,排列C rC板-曾;组合CCk-r.ii. 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列(或组合),规定某r个元素都不包含在内。先C后A策略,排列C 曾;组合C k.iii从n个不同元素中每次取出k
11、个不同元素作排列(或组合),规定每个排列(或组合)都 只包含某r个元素中的s个元素。先c后a策略,排列CsCtsA ;组合CsCn - r.II.排列组合常见解题策略: 特殊元素优先安排策略;合理分类与准确分步策略;排列、组合混合问题先选后排的 策略(处理排列组合综合性问题一般是先选元素,后排列);正难则反,等价转化策略; 相邻问题插空处理策略; 不相邻问题插空处理策略;定序问题除法处理策略;分排问题直排处理的策略;“小 集团”排列问题中先整体后局部的策略;构造模型的策略2. 组合问题中分组问题和分配问题.均匀不编号分组:将n个不同元素分成不编号的m组,假定其中r组元素个数相等,不管是否分尽,其分法种数为A/Ar (其中A为非均匀不编号分组中分法数).如果再有K组 r均匀分组应再除以Ak.k例:10人分成三组,各组元素个数为2、4、4,其分法种数为CjC 4C 4/A 2 = 1575.若分成六组,各组人数分别为1、1、2、2、2、2,其分法种数为C101C 91C 2C 2C 2C ;/A ; A 4 非均匀编号分组:n个不同元素分组,各组元素数目均不相等,且考虑各组间的顺序,其分法种数为A Amm例:10人分成三组,各组人数分别为2、3、5,去参加不同的劳动,其安排方法为:C 2 C 3 C 5 A 3 种. 10853若从10人中选9人分成三组,人数分别