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1、排列组合二项定理考试内容：分类计数原理与分步计数原理.排列.排列数公式.组合.组合数公式.组合数的两个性质.二项式定理.二项展开式的性质.考试要求：(1) 掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题.(2) 理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题.(3) 理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的 应用问题.(4) 掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题.排列组合二项定理知识要点一、两个原理.1. 乘法原理、加法原理.2, 可以有重复元素的排列.从m个不同元素中，每次取出n个元
2、素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排， 那么第一、第二.第n位上选取元素的方法都是m个，所以从m个不同元素中，每次取 出n个元素可重复排列数mm.m = mn.例如：n件物品放入m个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？(解：mn种)二、排列.1. 对排列定义的理解.定义：从n个不同的元素中任取m(mn)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同 元素中取出m个元素的一个排列.相同排列.如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相 同.排列数.从n个不同元素中取出m(mr)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.从n个不同元素中
3、取出m个元素的一个排列数，用符号Am表示.n排列数公式：n!Am= n(n 一 1)A (n 一 m +1) =(m n, n, m e N)(n 一 m)!注意：n-n! = (n + 1)!-n!规定 0! = 1A m = Am + Am -C m-1 = Am + mAm-1Am = nAm-1规定(JO =Cn = 12. 含有可重元素的排列问题.对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素气，a2,.an其中限重复数为 n1、n2nk，且 n = n1+n2+琮，则S的排列个数等于n = 一-一 n!n !.n例如：已知数字3、2、2,求其排列个数n = (1 + 2)
4、! = 3又例如：数字5、5、5、求其排列个 1!2!数？其排列个数n = 3! = 1. 3!三、组合.1. 组合：从n个不同的元素中任取m(mr)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个组合.组合数公式：6 =生=n(n DA (n - m + D Cm =n! n Amm!n m!(n - m)!m两个公式：Cm=cn-m；Cm-n+Cmn=Cnm Hn ntvtv 从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n个不同元素中取出n-m个元素的 唯一的一个组合.(或者从n+1个编号不同的小
5、球中，n个白球一个红球，任取m个不同小球其不同选法， 分二类，一类是含红球选法有Cm-1 -C1 =Cm-1 一类是不含红球的选法有Cm)n 1 nn 根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元 素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取m-1个元 素，所以有Cm：，如果不取这一元素，则需从剩余n个元素中取出m个元素，所以共有 勇种，依分类原理有Cm-+cm=Cn+1.排列与组合的联系与区别.联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.几个常用组合数公式Co
6、 + C1 + C2 + A人 n = 2nCo + C2 + C4+A =C1 + C3 + C5 +A =2 n-1Cm + C m + C mA C m =C m+1 n m+1 m+2 m+n m+n+1kCk = nCk-1nn - 111Ck =Ck+1k + 1 n n + 1 n + 1 常用的证明组合等式方法例.i. 裂项求和法.如：-+ - + - +An = 1 - 1(利用日=1-)2! 3! 4!(n +1)!(n +1)!n!(n -1)! n!ii. 导数法.iii.数学归纳法.iv,倒序求和法.V.递推法（即用 Cm +Cm1 = C m 递推）如：C 3 +C
7、 4 +C 3 +A C 七=C 1.35nn+_i_nn n+1Vi.构造二项式.如：（C0）2 +（C；）2 +A+（C；）2 =C2n证明：这里构造二项式（X + 1） n （1 + X） n = （1 + X）2 n其中X的系数，左边为C 0 Cn +C 1 Cn-1+C 2 Cn - 2 + A +Cn C 0 = （C 0）2 +（C 1）2 +A +（C）2，而右边=C nn n n n n nn n nnn2 n四、排列、组合综合.1. I.排列、组合问题几大解题方法及题型： 直接法.排除法. 捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再 考虑
8、它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n个不同元素排成一列，要求其中某m（m m,即mm,即m nl时有意义.nm n 一 m+1 m2 隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如：x + x + x + x = 12的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一1234列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为x ,x ,x ,x显然 x + x + x + x = 12，故（x ,x ,x ,x ）是方程的一组解反之，123412341234方程的任何一组解（y ,y ,y ,y ），对应着惟一的一
9、种在12个球之间插入隔板的方式（如图 12345.II1234x x X x所示）故方程的解和插板的方法一一对应.即方程的解的组数等于插隔板1234的方法数C 3.注意：若为非负数解的X个数，即用a , a ,.a中a.等于.+1，有x + x + x . + x = A n a 1 + a 1 + .a 1 = A，进而转化为求a的正整数解的个数为123 n12nC n-1 A+n 定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有An二.例如：从n个不同元素中，每次取出m个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固 定在）某一位置上，
10、共有多少种排法？固定在某一位置上：Am1 ；不在某一位置上：Am Am-1或A ” + A 1 Am1 （一类是不取出 n1nn 1n1m1n1特殊元素a，有A m，一类是取特殊元素a，有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个 n1元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的） 指定元素排列组合问题.i. 从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内。先C后A策略，排列C rC板-曾;组合CCk-r.ii. 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内。先C后A策略，排列C 曾；组合C k.iii从n个不同元素中每次取出k
11、个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都 只包含某r个元素中的s个元素。先c后a策略，排列CsCtsA ；组合CsCn - r.II.排列组合常见解题策略： 特殊元素优先安排策略；合理分类与准确分步策略；排列、组合混合问题先选后排的 策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；正难则反，等价转化策略； 相邻问题插空处理策略； 不相邻问题插空处理策略；定序问题除法处理策略；分排问题直排处理的策略；“小 集团”排列问题中先整体后局部的策略；构造模型的策略2. 组合问题中分组问题和分配问题.均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为A/Ar （其中A为非均匀不编号分组中分法数）.如果再有K组 r均匀分组应再除以Ak.k例：10人分成三组，各组元素个数为2、4、4，其分法种数为CjC 4C 4/A 2 = 1575.若分成六组，各组人数分别为1、1、2、2、2、2,其分法种数为C101C 91C 2C 2C 2C ;/A ; A 4 非均匀编号分组：n个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为A Amm例：10人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加不同的劳动，其安排方法为：C 2 C 3 C 5 A 3 种. 10853若从10人中选9人分成三组，人数分别
