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1、【课前复习】温故会做了，学习新课才会有保障1空间两直线的位置关系有_2公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么_答案：1平行，相交，异面2这条直线上所有的点都在这个平面内知新先看书，再来做一做1直线a在平面外是指直线a和平面_2直线a和平面的位置关系有_，其中_与_统称直线在平面外，记作_3直线和平面平行的判定定理：_4直线和平面平行的性质定理：_【学习目标】1了解直线与平面的三种位置关系，能用符号语言表示这些关系并能画出正确的图形；2掌握直线与平面平行的判定定理，并能予以证明；3掌握直线与平面平行的性质定理，并能用符号语言表示定理的条件和结论；会用性质定理解决有关问题；4提高空间想象能
2、力，能综合运用知识分析和解决问题【根底知识精讲】课文全解1直线和平面的位置关系1直线与平面平行的定义：一条直线和平面没有公共点2直线与平面的位置关系及相应的图形与记法图9-3-1直线在平面内有无数个公共点，记作a，如图9-3-1甲所示；直线和平面相交有且只有一个公共点，记作aP，如图9-3-1乙所示；直线和平面平行没有公共点，记作a，如图9-3-1丙所示我们把直线和平面相交以及直线和平面平行的情况统称为直线在平面外，记作a直线和平面的位置关系可由直线与平面的交点的个数来确定由公理1，当直线与平面有两个交点时a；当直线与平面只有一个交点时，a与相交；当直线与平面无交点时，a在画图时要注意以下几点
3、：线在面内：直线不要超出表示平面的平行四边形的各条边线面相交：交点到水平线这一段是不可见的，注意画成虚线或不画线面平行：直线要与表示平面的平行四边形的一组对边平行2直线与平面平行的判定1直线与平面平行的定义；2直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行用符号表示为：假设a，b，ab，那么a直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行即由线线平行得到线面平行3直线和平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和
4、交线平行用符号表示为：假设a，a，b，那么ab直线和平面平行的性质定理的实质是：线面平行，过直线作一平面和平面相交，其交线必和直线平行即由线面平行线线平行由线面平行线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与直线平行正确的结论是：a，假设b，那么b与a的关系是：异面或平行即平面内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条4判定定理的证明之所以用反证法，是因为有关直线与平面平行的概念只有一个定义，而定义是讲直线与平面无公共点，由于直线可以无限延长，平面可以无限伸展，很难实现直接证明因为条件给出a，那么直线a与的位置关系有两种：a；a与相交在证明过程中，作出与结论相反的假设
5、，即a与不平行，那么可设aA，点Ab，过点A在内作直线cb，由ab，那么ac，这与acA矛盾，所以假设不成立，从而a附：直线与平面的位置关系图表比照：位置关系图形公共点情况表示方法直线在平面内有无数个公共点a直线与平面平行无公共点aa直线与平面相交有且只有一个公共点aA问题全解1直线与平面的位置关系有哪些？如何判定？直线和平面的位置关系可按公共点个数分类：无公共点平行；唯一公共点相交；无数个公共点直线在平面内证明直线在平面内并不用“有无数个公共点，应用公理1，有两个公共点即可判断直线和平面相交的方法常用：证明直线和平面有且只有唯一公共点；反证法；转化为平面问题等其次要会正确画出直线和平面的位置
6、关系例1求证：两条平行线中的一条与平面相交，那么另一条也和该平面相交：直线ab，a平面P求证：直线b与平面相交策略：证明直线和平面相交，按定义，须证明直线b和平面有且只有一个公共点，即1直线b与平面有公共点，2直线b和平面只有一个公共点解决方法常转化为平面问题解决，解决直线与平面相交，有时也常用反证法图9-3-2证明：如图9-3-2ab，a与b确定平面，aP，平面与平面相交于过P点的直线，设为l在平面内l与两条平行直线a、b中的一条直线a相交l必与b相交于Q即blQ，又因为b不在平面内，故直线b和平面相交例2一条直线与一个平面平行，求证经过这个平面内的一点与这条直线平行的直线必在这个平面内：直
7、线a平面，点A，点A直线b，且ab求证：b策略：直线在平面内的判定方法：1公理1；2直线与平面位置关系共三种，排除其中两种相交、平行即为第三种证明：反证法假设b，A，Abb和a相交，a，AAa，那么过点A和a存在一个平面，即A，a，在内，过A可作直线b，使ab且Ab又abbb这与bbA矛盾b评注：此题结论可作为直线在平面内的又一种判定方法2直线与平面平行的判定定理的运用应注意哪些问题？判定一条直线与平面平行除了根据定义外，更主要是依据直线与平面平行的判定定理：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行这个定理用符号表示为：简称为“线线平行，那么线面平行，应用此定理时
8、，要注意三个条件“内“外“平行必须齐备，缺一不可难点：是判定定理的运用在运用时应注意“内平面内的直线，“外平面外的直线二字，通过线与线的平行到达线与面的平行，正确理解掌握它可帮助我们建立空间概念，形成空间想象能力例3P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点，如图9-3-3所示求证：PC平面BDQ图9-3-3策略：线线平行线面平行，注意利用“中点证明：连AC交BD于O，连QOABCD是平行四边形，O为AC的中点又Q为PA的中点，QOPC显然QO平面BDQ，PC平面BDQPC平面BDQ评注：1线面平行问题，通常转化为线线平行来处理，如何寻找平行直线自然成为问题的关键这可通过联想三角形中
9、位线、平行四边形对边、梯形两底边、平行公理等来完成2图中还有哪些线面平行关系？请读者自己写出3如何运用直线和平面平行的性质定理解相关问题？线面平行的性质定理给我们提供了一种判断直线平行的方法，但要注意“线面平行线线平行不是指面外直线和面内任意一条直线都平行，面外直线只和过此直线的平面与平面的交线平行，因此遇线面平行时，应着眼于过面外线且与面相交的面，从而找到“交线，得到线线平行例4求证平面外的两条平行线中的一条平行于这个平面，那么另一条也平行于这个平面图9-3-4策略：根据题意画出图形，写出，求证再证明由判定定理知，只要在内找一条直线cb即可：直线ab，a平面，b，如图9-3-4所示，求证b证
10、明：过及平面内点A作平面，设c评注：根据条件a，为了利用线面平行的性质，过a作平面和相交，辅助平面起到桥梁作用实现“线面平行与“线线平行的转化例5三个平面两两相交于三条交线，证明这三条交线或平行、或相交于一点：a，b，c图9-3-5求证：a、b、c互相平行或相交于一点策略：此题考查的是空间三直线的位置关系，我们可以先从熟悉的两条交线的位置关系入手，根据共面的两条直线平行或相交来推论三条交线的位置关系证明：a，b，a、b，a与b平行或相交图9-3-6假设ab，如图9-3-5中所示b，a，a又c，a，ac，abc假设a与b相交，如图9-3-6所示，设ab，Oa，Ob又a，bO，O又ac，Oc直线a
11、、b、c交于同一点O评注：这一结论常用于求一个几何体的截面与各面的交线问题如正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是CC1、A1B1的中点，画出过点D、M、N的平面与正方体各面的交线，并说明截面多边形是几边形【学习方法指导】运用直线与平面平行的判定和性质时应注意以下几点：1直线与直线平行是直线与平面平行的根底和依据，要论证直线和平面平行只需证直线与直线平行即可2在学习直线和平面平行的判定定理时，应注意“平面外和“平面内两个条件3由直线和平面平行可推出直线与直线平行，因此线面平行的性质定理可作为空间图形中直线与直线平行的判定定理4应用性质定理时关键是找过直线的平面与平面相交，所得的交线不仅
12、得到线线平行的结论，而且起到平面内任一条直线与直线位置关系的判定作用，即在平面内所有与交线平行的直线都与直线平行，所有与交线相交的直线都与直线异面证明直线与平面平行，假设用定义直接判定，一般用反证法；也可以用判定定理来判定，这里关键是在平面内找或作一条直线与直线平行证明时，“a，b，ab三个条件缺一不可同时还要逐步熟悉用符号语言来表达证明过程例1如图9-3-7所示，四边形ABCD、ADEF都是正方形，MBD，NAE，且BMAN，求证：MN面CDE图9-3-7策略：要证明MN平面CDE，根据性质定理可以知道，只要在平面CDE中找到一直线与MN平行即可，因此需要构造过MN的平面与平面CDE相交平面
13、AMN面CDEGE，通过MN与GE平行来证，问题得到解决证明：连结AM，延长交CD于G，连结GE，ABCD有AMBGMD，MNGEGE平面CDE，MN面CDEMN平面CDE定理的综合运用在解题中要能够运用类比的思想方法认识“直线和直线平行与“直线和平面平行的内在联系；能够运用转化的思想方法将“证明直线和直线平行的问题与“证明直线和平面平行的问题互相转化例2如图9-3-8所示，假设空间四边形的两条对角线AC，BD的长分别为8，12，求平行两对角线的截面四边形的周长的取值范围图9-3-8解：设截面四边形EFGH，AC平面EFGH，且平面ABC平面EFGHEF，AC平面ABC，EFAC，同理所以四边形EFGH的周长C2EFEH2ACBD28122884284168当0时，Cmin16；当1时，Cmax24截面四边形的周长取值范围为16，24【知识拓展】迁移一个显然的事实两条平行线中的一条与平面相交，那么另一条也与该平面相交要直接证明它却并不轻松，请看下面的证明直线ab，a平面P，求证b与平面相交着眼点转化为平面问题思路a和b确定面
