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1、线性代数复习提纲 第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算；N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准
2、化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。第二部分：基本知识一、行列式1 .行列式的定义用n2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2. 行列式的计算一阶|a|=a行列式，二、三阶行列式有对角线法则；N阶（n=3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0,利用定理展 开降阶。特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0
3、的几种情况：I行列式某行（列）元素全为0；II行列式某行（列）的对应元素相同；III行列式某行（列）的元素对应成比例；W奇数阶的反对称行列式。二. 矩阵1. 矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵一一如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2. 矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论： 矩阵乘法一般不满足交换律（若AB=BA，称A、B是可交换矩阵）； 矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；若A、B为同阶方阵，则|AB| = |A|*|B|； |kA|=kAn|A|3. 矩阵的秩(1) 定义 非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；(2) 秩的求法一般不用定义求，而用下面结
4、论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数(每行的第一个非零元 所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵)。求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。4. 逆矩阵(1) 定义：A、B为n阶方阵，若AB=BA= I,称A可逆，B是A的逆矩阵(满足半边 也成立)；(2) 性质：(AB)A-1=(BA-1)*(A1)，(A)A-1=(AA-1)； (A B 的逆矩阵，你懂的)(注意顺序)(3) 可逆的条件： |A|手0A)=n;A-I;(4) 逆的求解伴随矩阵法A-1=(1/|A|)A*； (A* A的伴随矩阵)初等变换法(A:I)-(施行初等变换)(I:A-1)5. 用逆
5、矩阵求解矩阵方程：AX=B，则 X= (AA-1) B；XB=A，则 X=B(AA-1)；AXB=C，则 X=(AA-1)C(BA-1)三、线性方程组1. 线性方程组解的判定定理:(1) r(A,b)黄r(A)无解； r(A,b)=r(A)=n 有唯一解；(3)r(A,b)=r(A)n有无穷多组解；特别地：对齐次线性方程组AX=0(1) r(A)=n只有零解；(2) r(A)n有非零解；再特别，若为方阵，(1) |A|黄0只有零解(2) |A|=0有非零解2. 齐次线性方程组(1) 解的情况：r(A)=n,(或系数行列式D黄0)只有零解；r(A)n,(或系数行列式D=0)有无穷多组非零解。(2
6、) 解的结构：X=c1a1+c2a2+.+Cn -ran-r。(3) 求解的方法和步骤：将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵； 写出对应同解方程组； 移项，利用自由未知数表示所有未知数； 表示出基础解系； 写出通解。3. 非齐次线性方程组(1) 解的情况：利用判定定理。(2) 解的结构：X=u+c1a1+c2a2+.+Cn -ran-r。(3) 无穷多组解的求解方法和步骤：与齐次线性方程组相同。(4) 唯一解的解法：有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法(初等变换法)。四、向量组1. N维向量的定义注：向量实际上就是特殊的矩阵(行矩阵和列矩阵)。2. 向量的运算：(1) 加减、数乘运算(与矩阵运算相
7、同)；(2) 向量内积 ap=a1b1+a2b2+.+anbn；(3) 向量长度|a|=Vaa=V(a1A2+a2A2+.+anA2) (V 根号)(4) 向量单位化(1/|a|)a；(5) 向量组的正交化(施密特方法)设a1, a 2,an线性无关，则p1=a1,p2=a2- (a2zp1/p1zp) *p1,p3=o3- (a3zp1/p1zp1) *p1- (a3zp2/p2zp2) *p2,。3. 线性组合(1) 定义 若B=k1a1+k2a2+.+knan，则称p是向量组a1, a2,an的一个线性组 合，或称p可以用向量组a1, a2,，an的一个线性表示。(2) 判别方法将向量组
8、合成矩阵，记A=(a1, a 2,，an), B=(a1, a2,，an,p)若r (A)=r (B),则p可以用向量组a1, a 2, ., an的一个线性表示；若r (A)黄r (B),则p不可以用向量组a1, a 2,，an的一个线性表示。(3) 求线性表示表达式的方法：将矩阵B施行行初等变换化为最简阶梯阵，则最后一列元素就是表示的系数。4. 向量组的线性相关性(1) 线性相关与线性无关的定义设 k1a1+k2a2+.+knan=0,若k1,k2,., kn不全为0,称线性相关；若k1,k2,., kn全为0,称线性无关。(2) 判别方法： r(a1, a 2, ., an)=3）行列式
9、的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展 开降阶。特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况：I行列式某行（列）元素全为0；II行列式某行（列）的对应元素相同;Ill行列式某行(列)的元素对应成比例;W奇数阶的反对称行列式。二. 矩阵1. 矩阵的基本概念(表示符号、一些特殊矩阵一一如单位矩阵、对角、对称矩阵等)；2. 矩阵的运算(1) 加减、数乘、乘法运算的条件、结果；(2) 关于乘法的几个结论： 矩阵乘法一
10、般不满足交换律(若AB=BA，称A、B是可交换矩阵)； 矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在； 若A、B为同阶方阵，则|AB| = |A|*|B|； |kA|=kAn|A|3. 矩阵的秩(1) 定义 非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；(2) 秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数(每行的第一个非零元 所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵)。求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。4. 逆矩阵(1) 定义：A、B为n阶方阵，若AB=BA= I，称A可逆，B是A的逆矩阵(满足半边 也成立)；(2) 性质：(AB)a-1=(BA-1)*(A1)，(A)A-1=(AA-1)； (A B 的逆矩阵，你懂的)(注意顺序)(3) 可逆的条件： |A|黄0；A)=n;A-I;(4) 逆的求解伴随矩阵法A-1=(1/|A|)A*； (A* A的伴随矩阵)初等变换法(A:I)-(施行初
