《广义积分的收敛判别法广义积分收敛判别法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广义积分的收敛判别法广义积分收敛判别法（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、上一节我们讨论了广义积分的计算,在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo方法求其近似值.对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件积分收敛，否则其结果毫无意义。因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的定理9.1(Cauchy收敛原理)fx)在a,)上的广义积分+，f(x)dxa收敛的充分必要条件是：0,存在A0,使得b,bA时，恒有|b/f(x)dx1b证明：对lim+,f(x)dx=0使用柯西收敛原理立即得此结论.bb同样对瑕积分bf(x)dx(b为瑕
2、点)，我们有a定理9.2(瑕积分的Cauchy收敛原理)设函数彳兀)在a,b)上有定义，在其任何闭子区间a,b-上常义可积，则瑕积分bf(x)dx收敛的a充要条件是：0,30,只要0n/n，就有|b_nf(x)dx|a，均有IA/f(x)dxIA/lf(x)IdxAA因此，由Cauchy收敛原理，我们得到下列定理.定理9.3如果广义积分席f(x)dx绝对收敛，则广义积分席f(x)dx必aa收敛它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质下面我们先介绍当被积函数非负时，广义积分收敛的一些判别法比较判别法：定理9.4(无限区间上的广
3、义积分)设在a,+g)上恒有0f(x)k(x),(k为正常数)则当席(x)dx收敛时，席f(x)dx也收敛；aa当席f(x)dx发散时，(x)dx也发散.aa证明：由Cauchy收敛原理马上得结论成立对瑕积分有类似的结论判别法定理9.5设f(x),g(x)均为a,b)上的非负函数，b为两个函数的奇点，如存在一个正常数k,使0f(x)kg(x),Vxa,b),贝U1) 如bg(x)dx收敛，则bf(a)dx也收敛。aa2) 如bf(x)dx发散，则bg(x)dx也发散.aa比较判别法在实际应用时，我们常常用下列极限形式定理9.6如果fx),g(x)是a,+)上的非负函数，且lim1,则XT炖g(
4、X)(1)如果0l+,且卜g(x)dx收敛，则积分卜f(x)dx也收敛.aa如果0l,且卜g(x)dx发散，则积分卜f(x)dx也发散.aa证明：如果limfX)l丰0,则对于*0(1*0),存在A,xTg(x)当XA时，0lf(X)l+g(x)即(l)g(x)f(x)(l,)g(x)成立.显然卜f(x)dx与a卜g(x)dx同时收敛或同时发散，在l=0或l=时，可类似地讨论.a使用同样的方法，我们有定理9.7对以b为唯一瑕点的两个瑕积分Jbf(x)dx与fbg(x)dx如果aaf(x),g(x)是非负函数，且liml,贝UxTbg(x)(1) 当0l1,那么积分卜f(x)dx收敛，如xpaf
5、xft，p1,则积分卜f(x)dx发散.xpa其极限形式为定理9.9如limxpf(x)l(0l,p1),则积分卜f(x)dx收xT+a敛如limxpf(x)，l,而0l+,p0,n0)11+xn解：(1)因为01时，积分+S11+xndx收敛.当n_m1时,积分J+二11+xndx发散.对于瑕积分，使用b1dx作为比较标准，我们有下列柯西判别a(xa)p法(1)如00),pc(x一a)pa(c0),p1,则!bf(x)dx发散.a瑕积分的Cauchy判断法的极限形式为x-a,如0k,p1,定理9.11设lim(xa)pf(x)=k则Af(x)dx收敛a那么Af(x)dx发散.例9.9判别下列
6、瑕积分的敛散性。dx(1)n0(1-X2)(1k2X_)(k20)解：(1)1是被积函数的唯一瑕点dx1因为lim(1x)2xtI-2X2)2(1-k2)1由p_知瑕积分收敛.兀0电都是被积函数的瑕点先讨论J4dx,由limxposinpxcosqxxT0+sinpxcosq知：当p1时，瑕积分J4收敛；当pn10sinpxcosqx+_1时,瑕积分aJ_dx发散.0sinpxcosqx再讨论月dx匹sinpxcosqx4兀、1因lim(x)p1兀2sinpxcosqxxT2所以当q1时，瑕积分tdX收敛，三SinpxCOSqx4当q，1时，瑕积分2dx发散.匹sinpxcosqx4综上所述，
7、当p1且q1时，瑕积分Idx收敛；其他情况0sinpxcosqx发散例9.10求证：若瑕积分(x)dx收敛，且当x0+时函数fx)单调趋0向于+，则limxf(x)=0.x0+证明：不妨设Vxg(0,1,f(x)，0,且心)在(0,1)上单调减少。已知(x)dx收敛，由柯西收敛准则，有0V*0,那0(1),V0x有xf(t)dts,x2从而0y(x)xf(t)力s2或0xf(x)0),当九；时收敛0x(1一cosx)九31当九,3时发散.X3，(1cosx)X3，Ix2丿=limxtO+1(1cosx=2,证明:/lim=limxtO+x(lCOSx)pXT0+11所以当3，1时，即，_时，瑕
8、积分收敛.当3，1,即，_时，33瑕积分发散前面讨论的是非负函数的反常积分的收敛性，为了能对一般函数的反常积分的敛散性进行讨论，我们先给出下面的重要结果定理9.12（积分第二中值定理）设g（x）在a,b上可积，fx）在a,b上单调，则存在Ega,b使Jbf(x)g(x)dx=g(a)f(x)dx+g(b)f(x)dxaaa为了证明定理9.12，我们先讨论下列特殊情况引理9.1设fx）在a,b上单调下降并且非负，函数g（x）在a,b上可积,则存在cga,b，使bf(x)g(x)dx=f(a)fcg(x)dxaa证明：作辅助函数中(x)=f(a)卜g(t)dt,对a,b的任一分法aP:a=xxx=
9、b012n我们有bf(x)g(x)dx=牙Jx,f(x)g(x)dxaxi=1i-1由此得到)xig(x)dx|xi-1i,1i,0=|为叫f(x)f(x)g(x)dx|xi-1i，1i1XxiIf(x)一f(x)IIg(x)Idxxi-1i，1i1L为(f)x.iix上的振幅，从ii,1这里L是Ig(x)|在a,b的上界，w(f)是f(x)在x,ii1这个估计式可知，当Pp0时,应当有为f(xi,1)xig(x)dxxi1bf(x)g(x)dxai,1i,0i,1i,0我们来证明minx日a,b中(x)Xf(xi1i,1)xig(x)dxmax中(x)xi1x日a,b为此，引入记号G(x)=
10、xg(t)dta并作如下变换Xf(xii,1)xig(x)dxxi1=Xf(xi1)G(xi)一G(xi1)i,1=Xf(xi1)G(xi)-Xf(xi1)G(xi1)i,1i,1=Xf(x)G(x)-Xf(x)G(x)i1iiii,1i,0(G(x)，G(a)，0)0=Xf(x)G(x)-Xf(x)G(x)i1iiii，1i，1=Xf(x)f(x)G(x)+f(x)G(x)i1iinni,1因为f(x1)f(x)0,f(x)0,i1in所以工f(x小g(x)dxi-1xxi，1i-1=Xf(x)f(x)G(x)+f(x)G(x)i-1iinni,1Xf(x.)f(x)+f(x)minG(x)
11、i1ini_1x日a,b=f(a)minG(x)x日a,b同样可证Xf(x.)Jxig(x)dxf(a)maxG(x)i=1i1xi-1x日a,b我们证明了不等式f(a)minG(x)Xf(x_小g(x)dxf(a)maxG(x)x日a,bi，ii1xi-ix日a,bmin中(x)Xf(x)卜g(x)dxmax中(x)x日a,bi，ii-1xi-ix日a,b现令IplT0,取极限，就得到min中(x)bf(x)g(x)dxmax中(x)x日a,bax日a,b因此，存在cga,b，使得中(c)=fbf(x)g(x)dx(因为中(x)在a,b上是连续函数)a也就是bf(x)g(x)dx=f(a)fcg(x)dx证毕aa下面我们证明定理9.12证明：如fx)是单调下降的，则f(x)-f(b)单调下降且非负，由引理12.2.1知，存在c，a,b)，使bf(x)-f(b)g(x)dx=f(x)-f(b)Jcg(x)dxaa即fbf(x)g(x)dx=f(a)cg(x)dx
