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1、学号：本科毕业论文学 院 专 业 年 级 姓 名 论文题目 定积分的若干应用 指导教师 薛艳昉 职称 讲师 2013年5月16日目录摘 要1关键词1Abstract1Keywords10 前 言11 定积分在数学中的应用11.1 曲边梯形面积的求法11.2 扇形面积的求法31.3 立体图形的体积的求法31.4 由截面面积求旋转体的体积41.5 求弧长的方法51.6 由微分法求旋转曲面的面积61.7 利用定积分对数列求和71.8 利用定积分进行因式分解、化简代数式71.9 利用定积分证明不等式82 定积分在物理中的应用9 2.1 液体静压力9 2.2 引力问题9 2.3 功与平均功率103 定积
2、分在经济中的应用12 3.1 最大利润问题12 3.2 资金的现值、终值与投资问题12参考文献13定积分的若干应用 姓名： 学号：数学与信息科学学院 数学与应用数学指导老师： 职称：讲师摘 要：本文通过定积分中微元法的思想，讨论了定积分在数学、物理学以及经济学中的若干应用，包括立体图形的体积的求法、不等式的证明、液体静压力、引力问题、最大利润问题等关键词：定积分；微分法；弧长Some Application of IntegralAbstract：In this paper，we discuss some application of integral in mathematics， phys
3、ics and economics through the thought infinitesimal method，including the volume of three-dimensional，graphics for France Inequality，hydrostatic pressure，gravity issues，the maximum profit problmsKeywords：definite integral；differential method；arc length0 前言微积分是数学的一个重要分支，它是科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工
4、具之一，如复杂图形的研究，求数列极限等问题，在物理学方面液体静压力，引力等的研究，以及在经济学中利润投资等问题的决策都需要定积分的知识以下将介绍定积分在这三方面的若干应用实例1 定积分在数学中的应用1.1 曲边梯形的面积的求法设为闭区间上连续函数，且，由曲线，直线，以及轴所围成的平面图形下面讨论该曲边梯形的面积我们在初等数学中，圆的面积是用一系列边数无限增加的内接（或外切）正多边形的面积的极限来定义的，现在我们仍用类似的方法来定义曲边梯形的面积根据这一思想我们可以得到曲边梯形的面积公式为由此可知，由上下两条连续曲线，以及直线和直线所围的平面图形的面积，它的计算公式为例1 求抛物线与直线所围成的
5、平面图形的面积解 设抛物线与直线的交点与用直线把图形分为左、右两个部分，应用公式分别求得它们的面积为=，=所以设曲线由参数方程=，给出，在上连续，连续可微且（对于连续可微的情形可类似地讨论）记=，=，则由曲线及直线和轴所围的图形，其面积计算公式为如果由参数方程表示的曲线是封闭的，那么由曲线自身所围的图形的面积为例2 求椭圆所围的面积解 化椭圆方程为参数方程=，=，则可求得椭圆围面积=| =显然，当时，这就等于圆面积1.2 扇形面积的求法设曲线由极坐标方程=，给出，其中在上连续，由曲线与两条射线所围成的平面图形，通常也称为是扇形此扇形的面积的计算公式为= 例3 求双纽线=所围成的平面图形的面积解
6、 因为，所以的取值范围为-与由图形的对称性得=4=1.3 立体图形的体积的求法设是三维空间中一立体，它夹在垂直于轴的两平面与之间为方便起见称为位于上的立体若在任意一点处作垂直于轴的平面，它截得的截面面积显然是的函数，记为，并称之为的截面面积函数设截面面积函数是上的一个连续函数对作分割：过各个分点作垂直于轴的平面，它们把切割成个薄片设在每个小区间上的最大、小值分别为与，那么每一薄片的体积满足于是，的体积满足因为为连续函数，从而在上可积，所以当足够小时，能使，其中为任意小的正数由此知道（或） ，其中（或），所以有例4 求椭球面所围的立体的面积解 以平面截椭球面，得椭圆，所以截面面积函数为=，于是求
7、得椭球的体积为：V= =1.4 由截面面积求旋转体的体积设是的连续函数，是有平面图形0绕x轴一周所得的旋转体，那么易知截面面积函数为=由=可知，旋转体的体积公式为 例5 求由圆x绕x轴旋转一周所得环状立体的体积解 的上、下半圆分别为：，所以圆环体的截面面积函数是，由此可得圆环体的体积为=1.5 求弧长的方法由弧长的概念可知弧长=若曲线由直线坐标方程表示，若把它看作参数方程，即为所以当在上连续可微时，此曲线即为一光滑曲线这时弧长公式为又若曲线由极坐标方程表示，把它化为参数方程，则为，由于，因此当在上连续，且和不同时为零时，此极坐标曲线为一光滑曲线这时弧长公式为例6 求摆线=（t-），=（1-co
8、st）（0）的弧长解 ，可得：S=8a1.6 由微分法求旋转曲面的面积 设平面光滑曲线方程为，（不妨设）这段曲线绕轴旋转一周得到旋转曲面下面用微元法导出它的面积公式通过轴上点与分别作垂直于轴的平面，它们在旋转曲面上截下一条狭带当很小时，此狭带的面积近似于一圆台的侧面积，即，其中由于，因此由的连续性可以保证所以得到，如果光滑曲线由参数方程，给出，且，那么由弧微分知识推知曲线绕轴旋转所得旋转曲面的面积例7 计算由内摆线=，=绕轴旋转所得曲面的面积解 由曲面关于轴对称以及公式，由定积分的求法可得 1.7 利用定积分对数列求和根据微分与积分互为逆运算的关系，先对所求数列进行积分，得到一个等比数列，对等
9、比数列求和，再对其求导数即可得到原数列的和例8 求和解 设，1.8 利用定积分进行因式分解、化简代数式将原式中的某字母看作自变量，其余字母看作常量，令原式为，先求导，再进行积分，确定好积分常数，从而可以达到分解因式和化简代数式的目的例9 分解因式解 设，将看作自变量，和看作常量对求导，得：，再对积分，得： 令，从而得，那么求得为： 例10 化简解 令原式为，将看作变量，、为常数对求一阶导数，得：，对求二阶导数，得：，再对积分，得：令，得：，于是，又令，得：，从而得1.9 利用定积分证明等式根据等式的特点，作出等式的相关辅助函数，再直接对辅助函数进行积分从而来证明等式这里的难点和重点都是分析等式
10、作出辅助函数例11 证明：证明 令对积分得，又由积分得，从而可得，再令，可得2 定积分在物理中的应用2.1 液体静压力例12 半径为的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的密度与水的密度相同，现将球从水中取出，问需要作功多少？解 建立适当的坐标系，球所受的力为向下的重力和向上的浮力的合力设水的密度1，则=，=，=将球取出水面相当与把球心从移到处，故要做的功为W=g（其中为水的密度）2.2 引力问题由物理学知识知道，质量分别为和，距离为的两质点间的引力的大小为=，其中万有引力常量，在静电场中，两个带电粒子间的引力也有相类似的结论的但是在计算体积较大的物体对一质点的引力时由于物体各个点与质点之间的距
11、离是不同的，所以无法用上述公式进行求解，下面就通过定积分来解决这一个问题例13 一根长为的均匀细杆，质量为，在其中垂线上相距细杆为处有一质量为的质点试求细杆对质点的万有引力解 建立适当的坐标系，使细杆位于轴上的闭区间，质点位于轴正方向上任取，当很小时可把这一小段细杆看作一个质点，其质量为于是它对质点的引力为由于细杆上各点对质点的引力方向各不相同，因此不能直接对进行积分（不符合代数可加性的条件）为此，将分解到轴和轴两个方向上，得，由于质点位于细杆的中垂线上，必使水平合力为零，即又由，得垂直方向合力为，负号表示合力方向于轴方向相反2.3 功与平均功率在以前所学的物理知识中我们已经知道可以利用一些公
12、式来解决一些简单的功的问题，但是在复杂的情况下这些公式对问题的解决并没有太大的帮助，下面用定积分的方法来解决变力沿直线做功的问题举一个最简单的例子：有一个方向恒定的变力对一个物体做功，若这个变力对物体的作用距离为，为的函数，则有变力所做的功为（其中，为变力的起始与末尾值），下面列举实际应用中例子例14 重量为的摆锤系于绳的下端，绳长为，上端固定，一水平变力从零逐渐增大缓慢的作用在摆锤上，使摆锤虽然移动，但在所有时间内均匀无限接近于力平衡，直到绳子与竖直直线成角的位置，试计算变力所做的功分析：由题意，因为在任意位置上，摆锤无限的接近于力平衡，所以可由摆锤所受合力极接近于零来计算解 对摆锤受力分析（如图），其中为摆锤所受绳的拉力水平方向上：竖直方向上：所以当摆锤在位置时，沿圆弧作微小位移时，力所做的微功对微元三角形分析得：，由于很小，近似，从而，则微功那么，摆锤由初始位置到末位置的过程中，力所做的总功为例15 设有一倒置的圆锥形水池，池口直径为30米，深为10米，池中注满了水，问现将池中水全部抽出需做功多少？ 解 建立合适的坐标轴由于抽出相同深度处单位体积的水需作相同的功，因此首先考虑将池中深度为到的一薄层水抽至池口需作的功为当很小时，把这一薄层水的深度都看做，并取的体积，这时有从而将全部池水抽出池外需作的功为3 定积分在经济中的应用3.1 最大利润问题我们知道，边际利润是产
